WWW.DOCX.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет материалы
 

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра математического анализа и теории функций

Гайдамак И.В.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Учебно-методический комплекс.

Рабочая программа для студентов специальности

10.05.03 Информационная безопасность автоматизированных систем,

специализация «Обеспечение информационной безопасности распределенных информационных систем».

Форма обучения очная

Тюменский государственный университет

2016

Гайдамак И.В. Математический анализ. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 10.05.03 Информационная безопасность автоматизированных систем, специализация «Обеспечение информационной безопасности распределенных информационных систем». Форма обучения очная, Тюмень, 2016, 36 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрООП ВО по специальности.

Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Математический анализ [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.



ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент,

зав.кафедрой математического анализа

и теории функций

© Тюменский государственный университет, 2016.

© Гайдамак И.В., 2016.

Пояснительная записка:

1.1. Цели и задачи дисциплины.

Цель курса "Математический анализ" - ознакомление с фундаментальными методами исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчисления. Объектами изучения в данной дисциплине являются, прежде всего, функции. С их помощью могут быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные процессы, происходящие в экономике, природе, технике. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций. Дисциплина "Математический анализ" отражает важное направление развития современной математики, в ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений.

Задачи курса. Развить математический кругозор студентов. Обучить студентов важнейшим теоретическим положениям математического анализа, аналитическим методам, выработать у них навыки решения конкретных задач, требующих исследования функций и вычисления связанных с ними величин.

1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Учебная дисциплина «Математический анализ» входит в математический и естественнонаучный цикл (базовая часть). Требования к входным знаниям и умениям студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных функций, умение дифференцировать.

Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

Таблица 1

№ п/п Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин

1 семестр 2 семестр 3 семестр





1.1 1.3 1.4 2.1 3.1 3.2 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 3.1 3.2 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 3.1 3.2

1. Теория вероятностей и математическая статистика. + + + + + + + + + + + + + + + + +

2. Алгебра и геометрия + + + + + + + + + + + 3. Физика + + + + + + + + + + + + + + + 4. Интеллектуальные системы анализа информации + + + + + + + + + + 5. Криптографические методы защиты информации + + + + + + + + + + + + + + + + +

1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.

В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями: ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-22.

способностью самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых областях, непосредственно не связанных со сферой профессиональной деятельности, развития социальных и профессиональных компетенций, к изменению вида своей профессиональной деятельности (ОК-10);

способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);

способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);

способностью участвовать в проектировании средств защиты информации и средств контроля защищенности автоматизированной системы (ПК-22).

1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):

Знать: основные понятия, определения и свойства объектов математического анализа, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

Уметь: доказывать утверждения математического анализа, решать задачи математического анализа, уметь применять полученные навыки в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

Владеть: аппаратом математического анализа, методами доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

2. Структура и трудоемкость дисциплины.

Семестры 1, 2 и 3. Форма промежуточной аттестации в 1 и 2 семестрах – зачет, в 3 семестре - экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц, 360 академических часов.

Таблица 2.

Вид учебной работы Всего часов Семестры

1 2 3

Контактная работа: 225,85 74,6 72 76,65

Аудиторные занятия (всего) 216 72 72 72

В том числе: Лекции 108 36 36 36

Практические занятия (ПЗ) 108 36 36 36

Иные виды работ: 9,85 2,6 - 4,65

Самостоятельная работа (всего): 134,15 33,4 - 103,35

Общая трудоемкость зач. ед.

час 10 3 2 5

360 108 72 180

Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен) Зач. Зач. Экз.

3. Тематический план.

Таблица 3

1 СЕМЕСТР

№ Тема недели семестра Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час. Итого часов по теме Из них в интерактивной форме Итого количество баллов

Лекции Практические занятия Самостоятельная работа 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Модуль 1 1.1.

Элементы теории множеств. 1 2 2 2 6 0-5

1.2. Последовательности. 2-3 4 4 4 12 2 0-5

1.3 Числовые функции. 4-6 6 6 6 18 2 0-10

1.4 Непрерывность функции. 7-8 4 4 4 12 0-10

Всего 16 16 16 48 4 0-30

Модуль 2 2.1.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. 9-10 4 4 4 12 1 0-15

2.2. Приложение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций. 11-12 4 4 4 12 2 0-15

Всего 8 8 8 24 3 0-30

Модуль 3 3.1.

Первообразная и неопределенный интеграл. 13-14 4 2 2 8 0-10

3.2. Методы вычисления неопределенного интеграла. 15-18 8 10 7,4 25,4 2 0-30

Всего 12 12 9,4 33,4 2 0-40

Иные виды работ 2,6 2,6 Итого* (часов, баллов): 36 36 36 108 9 0-100

Из них часов в интерактивной

форме 2 7 9 *с учетом иных видов работ

Таблица 4

2 СЕМЕСТР

№ Тема недели семестра Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час. Итого часов по теме Из них в интерактивной форме Итого количество баллов

Лекции Практические занятия 1 2 3 4 5 6 7 8

Модуль 1 1.1.

Определенный интеграл. 1-3 6 6 12 2 0-10

1.2 Геометрические и физические приложения определенного интеграла 4-8 10 10 20 2 0-20

Всего 16 16 32 4 0-30

Модуль 2 2.1.

Евклидово n-мерное пространство. 9-10 4 2 6 0-10

2.2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 11-12 4 6 10 2 0-20

Всего 8 8 16 2 0-30

Модуль 3 3.1.

Экстремумы функции многих переменных. 13-15 6 6 12 2 0-20

3.2. Несобственные интегралы. 16-18 6 6 12 0-20

Всего 12 12 24 2 0-40

Итого (часов, баллов): 36 36 72 8 0-100

Из них часов в интерактивной

форме 3 5 8

Таблица 5

3 СЕМЕСТР

№ Тема недели семестра Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час. Итого часов по теме Из них в интерактивной форме Итого количество баллов

Лекции Практические занятия Самостоятельная работа 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Модуль 1 1.1 Числовые ряды.

1-4 8 8 24 40 2 0-15

1.2 Функциональные последовательности и ряды. 5 2 2 6 10 0-5

1.3 Степенные ряды. 6-8 6 6 18 30 0-10

Всего 16 16 48 80 2 0-30

Модуль 2 2.1.

Ряды и интегралы Фурье 9-12 8 8 24 40 2 0-30

Всего 8 8 24 40 2 0-20

Модуль 3 3.1.

Кратные интегралы. 13-15 6 6 18 30 2 0-20

3.2. Криволинейные и поверхностные интегралы. 16-18 6 6 13,35 30 1 0-20

Всего 12 12 31,35 55,35 3 0-40

Иные виды работ 4,65 4,65 Итого* (часов, баллов): 36 36 108 180 7 0-100

Из них часов в интерактивной

форме 1 6 7 *с учетом иных видов работ

4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля

1 СЕМЕСТР

Таблица 6

№ темы Устный опрос Письменные работы Итого количество баллов

ответ на семинаре контрольная работа реферат Модуль 1

Тема 1.1.

0-2 0-3 0-5

Тема 1.2 0-5 0-5

Тема 1.3 0-2 0-8 0-10

Тема 1.4 0-2 0-8 0-10

Всего 0-6 0-16 0-8 0-30

Модуль 2

Тема 2.1.

0-5 0-10 0-15

Тема 2.2.

0-5 0-10 0-15

Всего 0-10 0-20 0-30

Модуль 3

Тема 3.1.

0-2 0-8 0-10

Тема 3.2.

0-5 0-25 0-30

Всего 0-7 0-25 0-8 0-40

Итого 0-23 0-61 0-16 0 – 100

2 СЕМЕСТР

Таблица 7

№ темы Устный опрос Письменные работы Итого количество баллов

ответ на семинаре контрольная работа реферат Модуль 1

Тема 1.1.

0-2 0-8 0-10

Тема 1.2 0-7 0-13 0-20

Всего 0-9 0-21 0-30

Модуль 2

Тема 2.1.

0-10 0-10

Тема 2.2.

0-4 0-16 0-20

Всего 0-4 0-16 0-10 0-30

Модуль 3

Тема 3.1.

0-2 0-13 0-5 0-20

Тема 3.2.

0-2 0-13 0-5 0-20

Всего 0-4 0-26 0-10 0-40

Итого 0-17 0-63 0-20 0 – 100

3 СЕМЕСТР

Таблица 8

№ темы Устный опрос Письменные работы Итого количество баллов

ответ на семинаре контрольная работа реферат Модуль 1

Тема 1.1.

0-4 0-11 0-15

Тема 1.2 0-2 0-3 0-5

Тема 1.3 0-2 0-8 0-10

Всего 0-8 0-22 0-30

Модуль 2

Тема 2.1.

0-8 0-14 0-8 0-30

Всего 0-8 0-14 0-8 0-30

Модуль 3

Тема 3.1.

0-3 0-17 0-20

Тема 3.2.

0-3 0-12 0-5 0-20

Всего 0-6 0-29 0-5 0-40

Итого 0-22 0-65 0-13 0 – 100

5. Содержание дисциплины.

1 СЕМЕСТР

Модуль 1.

1.1. Элементы теории множеств. Множества и операции над ними. Логическая символика. Общие понятия о функциях. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума. Аксиоматика множества вещественных чисел. Геометрическая интерпретация. Важнейшие теоремы о вещественных числах: о точных гранях, о предельных точках, о системе вложенных и стягивающихся отрезках, о конечном покрытии. Принцип Архимеда. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.

1.2. Последовательности. Общие понятия о последовательностях. Определение предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Признак существования предела монотонной последовательности. Число «е». Подпоследовательности и частичные пределы. Принцип Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. Фундаментальные последовательности и критерий Коши.

1.3. Числовые функции. Числовые функции, характеристика общих свойств числовых функций. Обзор элементарных функций. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений. Свойства функций, имеющих конечный предел. Предел монотонной функции. Критерий Коши существования предела функции. Предел композиции функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций. Отношения «О» и «о». Эквивалентные функции. Порядок бесконечно малой функции.

1.4. Непрерывность функции. Определение непрерывности функции в точке. Разрывы первого и второго рода. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность. Замечательные пределы и их следствия.

Модуль 2

2.1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал. Геометрический и механический смысл. Критерий дифференцируемости функций. Правила дифференцирования. Дифференцирование обратной функции и сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Дифференцирование элементарных функций и таблица производных. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя вычисления предела функции. Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена в формуле Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений функции.

2.2. Приложение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций. Условия монотонности функции на промежутке. Локальные экстремумы функции. Достаточные условия локального экстремума в терминах первой производной, второй производной и высших производных. Глобальные экстремумы функции. Выпуклые функции. Точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и перегиба. Асимптоты.

Модуль 3

3.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные определения. Свойства неопределенного интеграла. Таблица первообразных основных элементарных функций. Формулы подстановки и интегрирования по частям..

3.2. Методы вычисления неопределенного интеграла. Интегрирование рациональных функций, некоторых иррациональных функций, тригонометрических и других трансцендентных функций

2 СЕМЕСТР

Модуль 1

1.1. Определенный интеграл. Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Основные теоремы об интеграле Римана. Критерий интегрируемости функций по Риману. Другие условия интегрируемости функции по Риману и их эквивалентность. Классы функций, интегрируемых по Риману. Свойства интегрируемых по Риману функций и интеграла Римана. Первая теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом. Непрерывность и дифференцируемость. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Вторая теорема о среднем. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Неравенства, содержащие интеграл.

1.2. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Кривые в многомерном пространстве. Длина дуги площадь плоской фигуры. Площадь поверхности. Физические приложения определенного интеграла. Центр тяжести. Статические моменты. Вычисление работы.

Модуль 2

2.1. Евклидово n-мерное пространство. Основные определения. Внутренние, внешние, граничные точки множества в метрическом пространстве. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений. Непрерывные отображения метрических пространств. Понятия компакта. Компакты в Rn и полнота пространства Rn. Свойства непрерывных функций на компакте. Связные множества. Предел функции в Rn.

2.2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Непрерывные, дифференцируемые функции в Rn. Частные производные. Дифференцирование сложной функции. Производные по направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Приложение формулы Тейлора. Неявные функции.

Модуль 3

3.1.Экстремумы функции многих переменных. Локальный экстремум функции многих переменных. Условный экстремум функций многих переменных

3.2.Несобственные интегралы. Определение несобственных интегралов первого и второго рода. Основные свойства. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Достаточные условия сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле. Интеграл в смысле главного значения.

3 СЕМЕСТР

Модуль 1

1.1. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Абеля и Дирихле. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановке членов ряда. Арифметические операции над сходящимися рядами.

1.2. Функциональные последовательности и ряды. Сходимость функциональной последовательности ряда. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов, (перестановка двух предельных переходов, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость). Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле. Теорема Дини.

1.3. Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Формула Коши - Адамара. Аналитические функции. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Асимптотические степенные ряды. Приложения рядов.

Модуль 2

2.1. Ряды и интегралы Фурье. Фурье по тригонометрической системе функций. Принцип локализации. Основная теорема о сходимости ряда Фурье в точке (условие Дини). Признак Липшица. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро-Фейера. Равномерная аппроксимация в среднем непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Полнота и замкнутость тригонометрической системы функций. Связь между степенью гладкости функции и скоростью сходимости ее тригонометрического ряда Фурье. Дифференцирование, интегрирование рядов Фурье. Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам. Интегралы Фурье. Понятие о преобразовании Фурье.

Модуль 3

3.1.Кратные интегралы. Объем в n-мерном пространстве. Множества меры нуль. Разбиение измеримых множеств. Интегральные суммы. Определение кратного интеграла. Существование кратного интеграла. Свойства кратных интегралов. Сведение двойного интеграла к повторному. Сведение интеграла произвольной кратности к повторному. Независимость меры от выбора системы координат. Замена переменных в кратных интегралах. Криволинейные координаты. Геометрические и механические приложения кратных интегралов.

3.2.Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Свойства, вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Приложения. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью формулы Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов. Поверхностные интегралы. Понятие поверхности. Способы задания поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Сторона и ориентация поверхности. Понятие площади поверхности. Пример Шварца. Квадрируемость гладких поверхностей. Определение поверхностных интегралов первого и второго рода. Свойства, вычисление. Приложения. Формула Гаусса-Остроградского и ее приложения к исследованию поверхностных интегралов. Формула Стокса и ее приложения к исследованию криволинейных интегралов. Скалярные поля. Градиент. Оператор Гамильтона. Векторные поля. Дивергенция. Поток векторного поля. Циркуляция. Соленоидальное и потенциальное векторные поля.

6. Планы семинарских занятий.

1 СЕМЕСТР

Модуль 1.

Тема 1.1.

Элементы теории множеств

1. Элементы теории множеств. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение. Метод математической индукции. Нахождение граней числовых множеств.

Тема 1.2.

Последовательности

1. Последовательности. Определение общего члена последовательности. Определение свойств последовательности. Предел последовательности.

2. Предел последовательности. Эквивалентные последовательности.

Тема 1.3.

Числовые функции

1. Элементарные функции: области определения, значений, графики. Построение графиков функций с помощью преобразований. Основные свойства функций: четность, ограниченность, периодичность. Обратные функции. Сложные функции.

2. Предел функции в бесконечности. Предел степенно показательной функции, определяемый через второй замечательный предел.

3. Бесконечно большие и малые функции. Замена бесконечно малых функций на эквивалентные. Односторонние пределы.

Тема 1.4.

Непрерывность функции

1. Исследование элементарный функций на непрерывность. Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность.

2. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши).

Модуль 2

Тема 2.1.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Таблица производных. Основные методы дифференцирования функций одного переменного.

2. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Правило Лопиталя вычисления предела функции. Формула Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений функции.

Тема 2.2.

Приложение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций.

1. Исследование функций на монотонность и локальные экстремумы. Определение глобальных экстремумов функции. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба.

2.  Определение асимптот функции. Полное исследование функций, построение графика функции на основе результатов полного исследования.

Модуль 3

Тема 3.1.

Первообразная и неопределенный интеграл.

1. Основные определения. Свойства неопределенного интеграла. Таблица первообразных основных элементарных функций.

Тема 3.2.

Методы вычисления неопределенного интеграла.

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Интегрирование методом замены и методом подведения функции под знак дифференциала.

2. Интегрирование функций по частям.

3. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.

4. Разложение дроби на простейшие. Интегрирование рациональных функций.

5. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.

2 СЕМЕСТР

Модуль 1

Тема 1.1.

Определенный интеграл.

1. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

2-3. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

Тема 1.2.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

1-3. Кривые в многомерном пространстве. Длина дуги площадь плоской фигуры. Площадь поверхности.

4-5. Физические приложения определенного интеграла. Центр тяжести. Статические моменты. Вычисление работы.

Модуль 2

Тема 2.1.

Евклидово n-мерное пространство.

1.  Внутренние, внешние, граничные точки множества в метрическом пространстве. Предел функции в Rn.

Тема 2.2.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

1. Частные производные. Дифференцирование сложной функции.

2. Производные по направлению. Градиент. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

3. Формула Тейлора. Приложение формулы Тейлора. Неявные функции.

Модуль 3

Тема 3.1.

Экстремумы функции многих переменных.

1. Локальный экстремум функции многих переменных.

2. Условный экстремум функций многих переменных.

3. Наибольшее и наименьшее значения функций многих переменных в замкнутой области.

Тема 3.2.

Несобственные интегралы.

1. Несобственные интегралы первого и второго рода.

2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Достаточные условия сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

3. Признаки Абеля и Дирихле. Интеграл в смысле главного значения.

3 СЕМЕСТР

Модуль 1

Тема 1.1.

Числовые ряды.

1. Критерий Коши сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами.

2. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами.

3. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

4. . Признаки Абеля и Дирихле.

Тема 1.2.

Функциональные последовательности и ряды.

1. Сходимость функциональной последовательности ряда. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле.

Тема 1.3.

Степенные ряды.

1. Радиус сходимости. Формула Коши - Адамара.

2. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора

3. Асимптотические степенные ряды. Приложения рядов.

Модуль 2

Тема 2.1.

Ряды и интегралы Фурье.

1. Ряды Фурье по тригонометрической системе функций.

2. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро-Фейера. Дифференцирование, интегрирование рядов Фурье. Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье.

3.  Ряды Фурье по ортогональным системам. Понятие о преобразовании Фурье.

4. Интегралы Фурье.

Модуль 3

Тема 3.1.

Кратные интегралы.

1. Сведение двойного интеграла к повторному. Сведение интеграла произвольной кратности к повторному.

2. Замена переменных в кратных интегралах. Криволинейные координаты

3. Геометрические и механические приложения кратных интегралов

Тема 3.2.

Криволинейные и поверхностные интегралы.

1. Криволинейные интегралы первого и второго рода: свойства, вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Приложения. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью формулы Грина

2. Поверхностные интегралы первого и второго рода: свойства,вычисление. Формула Гаусса-Остроградского и ее приложения к исследованию поверхностных интегралов. Формула Стокса и ее приложения к исследованию криволинейных интегралов

3. Скалярные поля. Градиент. Оператор Гамильтона. Векторные поля. Дивергенция. Поток векторного поля. Циркуляция. Соленоидальное и потенциальное векторные поля

7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Не предусмотрены учебным планом ОП.

8. Примерная тематика курсовых работ

Не предусмотрены учебным планом ОП.

9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.

1СЕМЕСТР

Таблица 9

№ Модули и темы Виды СРС Неделя семестра Объем часов Кол-во баллов

обязательные дополнительные Модуль 1

1.1 Элементы теории множеств. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. 1 2 0-5

1.2 Последовательности. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. 2-3 4 0-5

1.3 Числовые функции. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. Написание и защита реферата 4-6 6 0-10

1.4 Непрерывность функции. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. 7-8 4 0-10

Всего по модулю 1: 16 0-30

Модуль 2

2.1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. 9-10 4 0-15

2.2 Приложение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. 11-12 4 0-15

Всего по модулю 2: 8 0-30

Модуль 3

3.1 Первообразная и неопределенный интеграл. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. Написание и защита реферата 13-14 8 0-10

3.2 Методы вычисления неопределенного интеграла. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. 15-18 7,4 0-30

Всего по модулю 3: 9,4 0-40

Иные виды работ 2,6 ИТОГО: 36 0-100

3 СЕМЕСТР

Таблица 11

№ Модули и темы Виды СРС Неделя семестра Объем часов Кол-во баллов

обязательные дополнительные Модуль 1

1.1 Числовые ряды. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. 1-4 24 0-15

1.2 Функциональные последовательности и ряды. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. 5 6 0-5

1.3 Степенные ряды. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. 6-8 18 0-10

Всего по модулю 1: 48 0-30

Модуль 2

2.1 Ряды и интегралы Фурье Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. Написание и защита реферата 9-12 24 0-30

Всего по модулю 2: 24 0-30

Модуль 3

3.1 Кратные интегралы. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. 13-15 18 0-20

3.2 Криволинейные и поверхностные интегралы. Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе. Написание и защита реферата 16-18 13,35 0-20

Всего по модулю 3: 31,35 0-40

Иные виды работ 4,65 ИТОГО: 108 0-100

Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.

Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического материала, предусмотренного учебным планом ОП.

Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу, предложенную в соответствующем разделе данной рабочей программы. В нем расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые интернет-ресурсы.

При подготовке к контрольным работам и коллоквиумам рекомендуется использовать учебно-методические комплексы из списка дополнительной литературы. В этих комплексах содержится подробное описание контрольных работ, коллоквиумов, приводится решение образца варианта контрольной работы по каждому модулю, а также варианты для самостоятельного решения. Указанная литература имеется в библиотеке ТюмГУ, а также на кафедре математического анализа и теории функций Института математики и компьютерных наук.

Примерная тематика реферативных работ

Реферат - это самостоятельная научно-исследовательская работа студента, где автор раскрывает суть исследуемой проблемы; приводит различные точки зрения, а также собственные взгляды на нее. Содержание материала должно быть логичным, изложение материала носит проблемно-поисковый характер. Следует отметить, что самостоятельный выбор студентом темы реферата или направления исследования только приветствуется. Прежде чем выбрать тему реферата, автору необходимо выяснить свой интерес, определить, над какой проблемой он хотел бы поработать, более глубоко ее изучить и получить консультацию преподавателя.

1 семестр

Основные понятия математического анализа в трудах Л.Эйлера.

Концепция предела у Ж. Даламбера, Л.Карно, С.Люилье, С.Гурьева

Обоснование математического анализа в работах О.Коши.

М.В.Остроградский и его работы в области математического анализа.

Проблемы обоснования математического анализа в трудах Б.Больцано и К.Вейерштрасса.

2 семестр

1.Вычисление интегралов методом Монте-Карло.

2. Метод Симпсона вычисления интегралов.

3. Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры.

4. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников.

3 семестр

1.Вычисление двойных интегралов методом ячеек

2.Вычисление потока и циркуляции векторного поля.

3.Интегралы по параметру.

4.Диалектика развития понятия функции.

10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).

10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы

В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями: ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-22.

способностью самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых областях, непосредственно не связанных со сферой профессиональной деятельности, развития социальных и профессиональных компетенций, к изменению вида своей профессиональной деятельности (ОК-10);

способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);

способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);

способностью участвовать в проектировании средств защиты информации и средств контроля защищенности автоматизированной системы (ПК-22).

Выдержка из МАТРИЦЫ соответствия компетенции и составных частей ООП

Таблица 12

Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ОП

Индекс компетенцииС1-С3. Дисциплины (модули)

1

семестр 2

семестр 3

семестр 4

семестр

Алгебра и геометрия* Математический анализ* Физика* История математики Алгебра и геометрия* Математический анализ* Физика* Введение в администрирование операционных систем* Организация ЭВМ и вычислительных систем* Алгебра и геометрия* Математический анализ* Дискретная математика и исследование операций* Организация ЭВМ и вычислительных систем* Философия* Дискретная математика и исследование операций*

ОК-10 + + + + + + + ПК-1 + + + + + + + + + + +

ПК-2 + + + + + + + + + +

ПК-22 + + + + + * - дисциплины базовой части

Выдержка из МАТРИЦЫ соответствия компетенции и составных частей ООП

Таблица 12 - Продолжение

Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ОП

Индекс компетенцииС1-С3. Дисциплины (модули) С.5.Практики / НИР С.6.ГИА

5

семестр 6

семестр 7 семестр 8

семестр 9

семестр Учебная Производственная НИР Итоговая государственная аттестация

Основы информационной безопасности* Криптографические методы защиты информации* Технологии и методы программирования* Теория вероятностей и математическая статистика* Технологии и методы программирования* Безопасность сетей ЭВМ Технологии и методы программирования* Управление информационной безопасностью* Информационная безопасность распределенных информационных систем* Информационные технологии Дополнительные главы криптографии ОК-10 + + + + +

ПК-1 + + + + + + +

ПК-2 + + + + + + +

ПК-22 + + + + + + + + +

* - дисциплины базовой части

10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:

Таблица 13

Карта критериев оценивания компетенций

Код компетенции Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП Виды занятий Оценочные средства

пороговый

(удовл.)

61-75 баллов базовый (хор.)

76-90 баллов повышенный

(отл.)

91-100 баллов ОК-10 Знает: общие сведения об основных понятиях математического анализа Знает: методы исследования свойств функций в математически формализованных задачах;

интерпретации полученных в ходе решения результатов Знает: связи и приложения математического анализа в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания. лекции, практические занятия Опрос

Умеет: на основе имеющихся справочных материалов находить производные функций одного и нескольких переменных, интегрировать функции одного переменного, доказывать основные утверждения, теоремы; решать задачи прикладного характера Умеет: проводить доказательства математических утверждений, не

аналогичных ранее изученным, но тесно примыкающих к ним Умеет: проводить самостоятельный поиск и выбор необходимых методов решения поставленных формализованных задач,

выбирая из них оптимальный лекции, практические занятия Контрольная работа

Владеет: методами решения простейших задач на исследование свойств функции, алгоритмами определения локальных и глобальных экстремумов функции одного переменного Владеет: методами обработки информации, необходимой для решения поставленных задач;

навыками приобретать новые математические знания, используя современные образовательные и информационные технологии Владеет: навыками выполнения полноценного анализа явлений в области профессиональных интересов,

умением читать и анализировать учебную и научную математическую

литературу лекции, практические занятия Контрольная работа, реферат

ПК-1

Знает: общие сведения о возможностях употребления математической символики для записи текстовых задач в символьном виде Знает: методы анализа и синтеза изучаемых явлений и процессов Знает: теоретические обоснования используемых в решении формул и алгоритмов;

простейшие приемы составления алгоритмов (структурных схем) решения нестандартных задач математического анализа лекции, практические занятия Опрос, контрольная работа

Умеет: на основе имеющихся справочных материалов определять тип задачи и возможные методы ее решения Умеет: демонстрировать понимание основных теорем из различных математических курсов и умение их доказывать Умеет: представлять математические утверждения и их доказательства, проблемы и их решения ясно и точно в терминах, понятных для профессиональной аудитории, как в письменной, так и устной форме лекции, практические занятия Опрос, контрольная работа

Владеет: способами и методами представления решений простейших задач, навыками создания презентаций Владеет: методами переводить на математический язык простейшие проблемы, поставленные в терминах других предметных областей, и использовать превосходства этой переформулировки для их решения Владеет: методами решения математических задач и проблем из различных областей математики, которые требуют некоторой оригинальности мышления лекции, практические занятия Контрольная работа, реферат

ПК-2 Знает: общие сведения об основных интерпретациях базовых понятий математического анализа Знает: специфику формулировки задач профессиональной деятельности в терминах дисциплины Знает: на высоком уровне учебную программу математического анализа лекции, практические занятия Опрос, контрольная работа

Умеет: использовать теоретический и практический материал, необходимый для представления задачи в терминах и понятиях изучаемой дисциплины Умеет: применять аналитические и численные методы решения поставленных задач, систематизировать основные знания о приемах и методах решения типовых задач курса с использованием справочной литературы Умеет: проявлять высокую степень понимания утверждений математического анализа, применять полученные знания в решении профессиональных задач лекции, практические занятия Контрольная работа

Владеет: первоначальными представлениями о возможности решения задач с помощью компьютерных технологий Владеет: способностью к применению полученных знаний на практике, в том числе умением составлять математические модели типовых профессиональных задач и находить способы их решений; интерпретировать профессиональный смысл полученного математического результата Владеет: глубокими знаниями базовых математических понятий и утверждений и методами их реализации в профессиональной сфере лекции, практические занятия Контрольная работа, опрос, реферат

ПК-22 Знает: основные алгоритмы решения задач математического анализа Знает: методы решения задач в прикладной области Знает: алгоритмы и методы математического анализа, используемые при защите информации лекции, практические занятия Опрос, контрольная работа

Умеет: решать задачи математического анализа прикладной направленности Умеет: применять методы и алгоритмы математического анализа в проектировании средств защиты информации Умеет: модифицировать методы и алгоритмы математического анализа с целью оптимизации средств защиты информации лекции, практические занятия Контрольная работа

Владеет: представлениями о возможности применения аппарата математического анализа при проектировании средств защиты информации Владеет: навыками решения задач математического анализа прикладной направленности Владеет: способностью использовать аппарат математического анализа для проектирования средств защиты информации лекции, практические занятия Контрольная работа, опрос, реферат

10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.

Содержание контрольных мероприятий 1 семестра

Контрольная работа по теме «Введение в анализ функций одного переменного и предел последовательности»

1) Найти область определения функции (2 функции).

2) Решить неравенство с модулем.

3) Найти пределы последовательностей (2 предела)

Примерный вариант:

1) Найти область определения:

а) ; б)

2) Решить неравенство

3) Найти пределы последовательности

а) ; б)

Контрольная работа по теме «Предел и асимптоты функций»

1-10). Найти пределы

11) Найти асимптоты функции.

Примерный вариант:

1-10. Найти пределы

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. Найти асимптоты функции

а) б)

Контрольная работа по теме «Полное исследование функций»

Полное исследование и построение графика функции

Примерный вариант:

Полное исследование и построение графика функции

Контрольная работа по теме «Приложение дифференциального исчисления функций одного переменного»

1) Предел функции.

2) Асимптоты функции.

3) Глобальные экстремумы функции

4) Монотонность и локальные экстремумы функции.

5) Выпуклость и точки перегиба функции.

Примерный вариант:

1) Вычислить предел.2) Найти асимптоты функции

.

3) Определить глобальные экстремумы функции

при.4) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции

.

5) Указать промежутки выпуклости и точки перегиба функции

.

Контрольная работа по теме «Техника неопределенного интегрирования»

1-10) Найти неопределенный интеграл

Примерный вариант:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10)

Итоговая контрольная работа за 1 семестр

1) Монотонность, локальные экстремумы функции одного переменного

2) Выпуклость, точки перегиба функции одного переменного

3) Асимптоты функции

4-5) Неопределенный интеграл

Примерный вариант:

1) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции.2) Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

3) Найти асимптоты функции.4) Найти интеграл

5) Найти интеграл

Содержание контрольных мероприятий 2 семестра

Контрольная работа по теме «Определенный интеграл»

1-3) Найти определенные интегралы

4-5) Приложения определенных интегралов (площадь области, длина дуги, объем тела вращения, площадь поверхности вращения)

Примерный вариант:

1-3) Найти определенные интегралы

1) ; 2) ; 3).

4) Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох астроиды

5) Найти длину дуги кривой, отсеченной осью абсцисс.

Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функций многих переменных»

1) Найти область определения функции и изобразить ее графически.

2) Найти частные производные функции.

3) Найти полный дифференциал функции

4) Найти производную по направлению и градиент

5) Проверить, удовлетворяет ли заданная функция дифференциальному уравнению.

Примерный вариант:

1) Найти область определения функции

2) Найти частные производные второго порядка функции и убедиться в том, что.

3) Найти полный дифференциал функции

4) Найти производную функции в точке М по направлению вектора и градиент функции в точке М

5) Проверить, удовлетворяет ли заданная функция дифференциальному уравнению.

Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функций многих переменных»

1) Найти локальные экстремумы функции

2) Найти условные экстремумы функции

3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области.

Примерный вариант:

1) Найти локальные экстремумы функции.2) Найти условные экстремумы функции, если.

3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной заданными линиями

Контрольная работа по теме «Несобственные интегралы»

1) Несобственный интеграл 1-го рода

2) Несобственный интеграл 2-го рода

Примерный вариант:

Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость

Итоговая контрольная работа за 2 семестр

1) Определенный интеграл

2) Геометрические приложения определенного интеграла

3) Несобственный интеграл

4) Локальный экстремум функции нескольких переменных

5) Условный экстремум функции одного переменного

Примерный вариант:

1) Найти определенный интеграл

2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.3) Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

4) Найти локальные экстремумы функции.5) Определить условные экстремумы функции, если

,,.

Содержание контрольных мероприятий 3 семестра

Контрольная работа по теме «Числовые ряды»

1) Проверить необходимое условие сходимости ряда

2-3) Исследование на сходимость знакопостоянный ряд

4) Исследование на сходимость знакопеременный ряд

5) Исследовать на абсолютную сходимость ряд

Примерный вариант:

1) Проверить необходимое условие сходимости ряда

2) Исследовать на сходимость ряд.3) Исследовать на сходимость ряд

4) Исследовать на сходимость ряд

5) Исследовать на абсолютную сходимость ряд

Контрольная работа по теме «Степенные ряды»

1) Определить радиус и интервал сходимости.

2) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х0.

3) Вычислить приближенно с помощью разложения в ряд.

4) Найти сумму степенного ряда.

Примерный вариант:

1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда.2) Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки.

3) Вычислить с заданной точностью =0,001

4) Найти сумму степенного ряда при.

Контрольная работа по теме «Ряды Фурье»

1) Разложить функцию в ряд Фурье

2) Представить функцию рядом Фурье в действительной и комплексной формах

3) Написать интеграл Фурье для функции в комплексной и действительной форах

Примерный вариант:

1) Разложить в ряд Фурье функцию. Построить графики функции и суммы ряда.

2) Представить функцию рядом Фурье в действительной и комплексной формах.

,,

3) Написать интеграл Фурье для функции в комплексной и действительной форах. ;.

Контрольная работа по теме «Двойные интегралы»

1) Начертить область интегрирования, изменить порядок интегрирования.

2) Вычислить двойной интеграл

3) Найти центр тяжести одной фигуры, ограниченной данными линиями.

4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

5) Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл

Примерный вариант:

1) Начертить область интегрирования, изменить порядок интегрирования

2) Вычислить двойной интеграл

3) Найти центр тяжести одной фигуры, ограниченной данными линиями.

4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

5) Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл

Итоговая контрольная работа за 3 семестр

1) Разложить в ряд Маклорена и найти интервал сходимости функции

2) Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакопеременный ряд

3) Разложить функцию в ряд Фурье

4) Вычислить криволинейный интеграл

5) Вычислить поверхностный интеграл

Примерный вариант:

1) Разложить в ряд Маклорена и найти интервал сходимости функции

2) Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакопеременный ряд

3) Разложить на отрезке в ряд Фурье функцию

4) Вычислить криволинейный интеграл первого рода, где L – отрезок ОА и О(0,0), А(1,2)

5) Вычислить поверхностный интеграл первого рода, где – часть плоскости при условии.

Вопросы к зачету

1 семестр

Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества. Понятие переменной величины и функции (отображения).

Действительные функции одной действительной переменной. Область определения. Сложная, обратная функция. Элементарная функция. Основные элементарные функции.

Понятие окрестности. Предел функции в точке. Определение, графическая иллюстрация. Доказательство единственности предела.

Доказательство ограниченности функции, имеющей конечный предел. Доказательство теоремы о сохранении знака функции, имеющей конечный предел.

Бесконечно малые функции, их свойства (доказательство теорем о сумме и произведении бесконечно малых). Следствия. Теорема о связи бесконечно малой и функции, имеющей предел (формулировка).

Бесконечно малые функции. Доказательство теоремы о связи бесконечно малой и функции, имеющей предел.

Доказательство арифметических свойств пределов функций.

Порядковые свойства предела. Доказательство леммы «о двух милиционерах». Предел сложной функции (доказать). Замена переменных в пределе.

Первый замечательный предел (доказательство). Односторонние пределы. Бесконечно большие функции. Доказательство теоремы о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Предел функции на бесконечности. Предел последовательности. Второй замечательный предел. Доказательство теоремы о пределе показательно-степенной функции.

Непрерывность функции (три определения непрерывности). Свойства функций, непрерывных в точке (доказать). Классификация точек разрыва.

Сравнение функций. Эквивалентные функции. Функции одного порядка. Понятие "о-малой", главной части. Доказательство теоремы о равенстве функции сумме эквивалентной функции и бесконечно малой.

Сравнение функций. Основные определения. Доказательство теоремы о применении эквивалентных при вычислении пределов (случай суммы, произведения, частного).

Доказательство основных эквивалентностей. Свойства функций, непрерывных на отрезке – сформулировать и проиллюстрировать 4 теоремы.

Производная функции в точке. Геометрический смысл. Доказательство теоремы о непрерывности функции, имеющей производную.

Производная функции в точке. Доказательство правил дифференцирования (случай суммы, произведения, частного).

Производная сложной и обратной функции (доказательства). Производная параметрически заданной функции.

Вывод формул таблицы производных. Производная показательно-степенной функции. Логарифмическое дифференцирование.

Производные высших порядков. Дифференцируемость функции. Доказательство теоремы о дифференцируемости функции. Дифференциал.

Приближенное вычисление значений функции. Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

Теорема Ролля (доказательство). Существенность условий теоремы Ролля.

Доказательство теоремы Лагранжа. Теорема Коши.

Правило Лопиталя-Бернулли (доказательство).

Доказательство обобщенной теоремы Ролля.

Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, Пеано. Применение формулы Тейлора в вычислениях с заданной точностью.

Формулы Маклорена для основных элементарных функций (вывести для любых двух).

Монотонность, экстремумы. Необходимое и достаточные (с доказательствами) условия экстремума.

Исследование поведения функции. Доказательство теоремы о выпуклости, вогнутости графика функции. Асимптоты, вывод формул для нахождения наклонных асимптот.

Первообразная, неопределённый интеграл и его свойства (с доказательством). Доказательство инвариантности интеграла.

Вывод формул таблицы интегралов. Интегрирование квадратного трехчлена.

Интегрирование по частям, циклическое интегрирование(на примере), замена переменной. Неберущиеся интегралы.

Разложение рациональной дроби на целую часть и сумму простейших дробей.

Интегрирование простейших дробей (доказательство для I-III, для IV – идея доказательства и применения).

Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование дифференциального бинома.

2 семестр

Понятие интегральной суммы и определённого интеграла. Геометрический и механический смысл. Теорема существования определенного интеграла.

Свойства определённого интеграла (с доказательствами).

Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (доказательство). Формула Ньютона-Лейбница (вывод). Формулы интегрирования по частям и замены переменной для определённого интеграла.

Площадь криволинейной трапеции для функции, заданной явно, параметрически, в полярных координатах.

Объём тела с известной площадью поперечного сечения. Объем тела вращения для функции, заданной явно, параметрически, в полярных координатах..

Длина дуги кривой для функции, заданной явно, параметрически, в полярных координатах. Дифференциал длины дуги. Площадь поверхности вращения.

Несобственный интеграл I рода: определение, свойства, признаки сходимости.

Несобственный интеграл II рода: определение, свойства, признаки сходимости.

Определение функций нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Понятие окрестности и области на плоскости.

Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.

Частные производные. Геометрический и физический смысл.

Полный дифференциал функции нескольких переменных. Необходимое (доказать) и достаточное условие дифференцируемости функции.

Производные и дифференциал сложной функции (доказать теорему о производной сложной функции). Дифференциал сложной функции.

Неявные функции и их дифференцирование(теоремы существования, вывод формул).

Касательная плоскость и нормаль к поверхности(вывод формул). Геометрический смысл дифференциала функции 2 переменных.

Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций двух переменных.

Экстремумы функций двух переменных. Доказательство необходимого и достаточного условия существования. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Производная по направлению. Доказательство теоремы о существовании производной по направлению.

Градиент. Геометрический смысл. Доказательство теоремы о связи производной по направлению с градиентом.

Условный экстремум.

Вопросы к экзамену

3 семестр

Числовые ряды. Сходимость, частичная сумма и сумма ряда. Остаток ряда.

Свойства сходящихся рядов (доказательства).

Доказать необходимый признак сходимости и расходимость ряда. Исследовать сходимость ряда.Ряды с положительными членами. Доказать теоремы сравнения. Ряды-эталоны.

Ряды с положительными членами. Доказать признак Даламбера.

Ряды с положительными членами. Доказать радикальный признак Коши.

Ряды с положительными членами. Доказать интегральный признак Коши. Исследовать сходимость ряда.Знакочередующиеся ряды. Доказать теорему Лейбница.

Ряды с произвольными членами (по знаку). Доказать достаточный признак сходимости. Пример.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Функциональные ряды. Область сходимости. Пример.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

Ряд Фурье на [-,], [-L,L]. Ряд Фурье для периодических функций, для четных и нечетных функций. Теорема Дирихле.

Интеграл Фурье.

Задача об определении объема цилиндрического тела. Определение двойного интеграла. Теорема существования.

Определение двойного интеграла. Свойства.

Вычисление двойного интеграла (сведение к повторному интегралу, привести примеры).

Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле. Полярная и обобщенная полярная системы координат.

Приложения двойных интегралов. Задача о массе пластинки переменной плотности.

Тройной интеграл. Свойства.

Тройной интеграл. Сведение к повторному интегралу.

Приложения тройных интегралов. Привести пример.

Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги). Вычисление.

Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги). Свойства, применения.

Криволинейный интеграл II рода (по координатам). Задача о работе переменной силы вдоль кривой.

Криволинейный интеграл II рода (по координатам). Свойства, вычисление для плоской и пространственной кривой.

Формула Грина (с доказательством). Пример применения.

Формулировки практических заданий, которые могут быть включены в билет для зачета (конкретные условия: функции, точки, векторы, значения - в экзаменационном билете могут отличаться от приведенных ниже)

1 семестр

1) Вычислить предел.2) Найти асимптоты функции

.

3) Определить глобальные экстремумы функции

при.4) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции

.

5) Указать промежутки выпуклости и точки перегиба функции

.

6) Найти неопределенный интеграл

2 семестр

1) Найти определенный интеграл.

2) Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох кривой

3) Найти область определения функции и изобразить эту область графически

4) Найти полный дифференциал функции

5) Найти производную функции в точке М по направлению вектора и градиент функции в точке М

6) Найти локальные экстремумы функции.7) Найти условные экстремумы функции, если.

8) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.9) Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Формулировки практических заданий, которые могут быть включены в экзаменационный билет (конкретные условия: функции, точки, векторы, значения - в экзаменационном билете могут отличаться от приведенных ниже)

3 семестр

1) Исследовать на сходимость ряд.2) Исследовать на абсолютную сходимость ряд

3) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда.4) Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки.

5) Разложить на отрезке [-,] в ряд Фурье функцию

6) Начертить область интегрирования, изменить порядок интегрирования

7) Вычислить двойной интеграл

8) Разложить в ряд Маклорена функцию и найти интервал сходимости ряда.

9) Вычислить криволинейный интеграл первого рода, где L – отрезок ОА и О(0,0), А(1,2)

10) Вычислить поверхностный интеграл первого рода, где – часть плоскости при условии.

10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.

Критерии успешности обучения

Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).

Шкала перевода семестровых баллов

Таблица 14

Баллы Экзамен Зачет

0 – 60 Неудовлетворительно Не зачтено

61 – 75 Удовлетворительно Зачтено

76 – 90 Хорошо 91 – 100 Отлично В случае экзамена неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать экзамен.

В случае зачета неуспевающие студенты должны сдать зачет.

Экзаменационные билеты и билеты к зачету включают: два теоретических вопроса по курсу дисциплины за семестр и пять практических задач.

Ответ на вопрос и решение каждой задачи оценивается максимально в 5 баллов.

Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:

5 баллов ставится в случае, если:

- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;

- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике, указанной в билете.

При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа при условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно делает необходимые уточнения и дополнения.

4 балла ставится в случае, если

- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное изложение материала.

- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.

3 балла ставится в случае, если:

- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах экзаменатора были частично исправлены;

- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и терминологии дисциплины;

- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.

2 балла ставится в случае, если:

- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже с помощью наводящих вопросов экзаменатора;

- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.

1 балл ставится в случае, если:

- хотя бы одна формулировка (определения или теоремы) в ответе верна;

- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам, но при этом они частично верны и относятся к тому же разделу курса, что и экзаменационный вопрос.

В остальных случаях ставится 0 баллов.

Критерии оценивания решения практической задачи:

5 баллов ставится в случае, если решение содержит

- все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок;

- развернутые ответы и грамотные комментарии,

- правильно используется терминология и математические символы.

При этом допускаются незначительные ошибки в расчетах на последнем этапе решения.

4 балла ставится в случае, если

- решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на дальнейшее решение;

- решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и переходов от одного этапа решения к другому;

- неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном решении.

3 балла ставится в случае, если:

- в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария;

- в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы и ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок.

- промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено.

2 балла ставится в случае, если:

- студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но этапы решения содержали существенные ошибки.

1 балл ставится в случае, если:

- решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из этапов выполнен верно;

- студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один из этапов не был выполнен правильно;

В остальных случаях ставится 0 баллов.

Шкала перевода экзаменационных и зачетных баллов

Таблица 15

Баллы Экзамен Зачет

0-14 Неудовлетворительно Не зачтено

15-25 Удовлетворительно Зачтено

26-31 Хорошо 32-35 Отлично 11. Образовательные технологии.

При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности студентов для достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.

Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике, программированию.

При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.

Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.

В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения. Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую активность.

12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).

12.1 Основная литература:

1.Математика: математический анализ и линейная алгебра: учеб. пособие для студентов вузов / авт.-сост. А. П. Девятков [и др.]. - Тюмень : Изд-во ТюмГУ, 2011. - 468 с.

2.Туганбаев, А.А. Математический анализ: производные и графики функций : учебное пособие [Электронный ресурс] / А.А. Туганбаев. - 2-е изд., стереотип. - М. : Флинта, 2011. - 91 с. – Режим доступа: biblioclub.ru/index.php?page=book&id=103836 (дата обращения 12.10.2016)

12.2 Дополнительная литература:

1.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов/ Б. П. Демидович. -Москва: АСТ, 2009.-558 с.

2.Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу : учеб. пособие/ Г. И. Запорожец. -5-е изд., стереотип.. -Санкт-Петербург: Лань, 2009.-464 с.

3.Пилиди, В. С.. Математический анализ: учебник/ В. С. Пилиди. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 239 с.

12.3 Интернет-ресурсы:

Методические рекомендации по написанию реферата. http://www.hse.spb.ru/edu/recommendations/method-referat-2005.phtml

Реферат (выбор темы, структура) http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-24860/Единое окно доступа к образовательным ресурсам

http://window.edu.ru/window/library

Сайт, посвященный математике и математикам http://math.ru

13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).

ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ПППП)

Microsoft Excel. Встроенные математические функции.

Microsoft Word. Встроенный редактор формул.

Microsoft PowerPoint.

В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное оборудование):

доска и мел (или более современные аналоги),

слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,

компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и др.).

микрофон и соответствующие установки (для работы в больших аудиториях с многочисленными группами студентов).

14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).

Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях, оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной доски.

15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).

Дисциплина «Математический анализ» содержит 9 модулей, которые изучаются 3 семестра (по 3 модуля в каждом семестре). Каждый модуль имеет определенную логическую завершенность по отношению к установленным целям и результатам обучения.

При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а непрерывно складываются на протяжении одного семестра. Комплексность означает учет всех форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.

Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении более высокой оценки знаний по дисциплине.

Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за работу, выполненную в срок.

Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый по дисциплине.

Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.

Опросы проводятся на каждом семинаре по содержанию лекционного материала, а также по базовым знаниям, полученным на практических занятиях. Список вопросов приведен в разделе 10.3.

Помимо контрольных мероприятий студент имеет возможность написать один или несколько рефератов, которые защищает на практических занятиях либо в консультационные часы. Темы рефератов и методические указания по их написанию можно найти в разделе 9 данного УМК.

Итоговый контроль по дисциплине – это проверка уровня учебных достижений студентов по всей дисциплине за семестр.

Форма контроля – итоговая работа, содержащая задания по всем разделам семестра. Образцы контрольных по обоим семестрам приведены в разделе 10.3.

По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов включительно. Шкала перевода баллов приведена в разделе 10.2 в таблице 10. В этом же разделе можно найти информацию о том, что происходит в тех случаях, если студент не доволен полученной оценкой либо его работа и знания за семестр признаны «неудовлетворительными» или он получил «не зачтено».

Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические задания. Возникшие при решении трудности студент может обсудить с преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.

Похожие работы:

«Рабочая программа по химии 10 классПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа учебного курса химии для 10 класса составлена на основе Примерной федеральной программы основного общего образования по химии для   8 – 11 классов; Программы курса химии для 8 – 11 классов общеобразовательных учреждений, автор О.С. Габри...»

«Примеры диагностических заданий для VIII класса, выявляющих уровень сформированности умений Сравнивать Умение сравнивать – это умение устанавливать черты сходства (сопоставлять) и различий (противопоставлять). Чем различаются понятия "атом" и "молекула"...»

«Содержание Введение1. Возможности математического пакета MathCad2. Построение графика функции одного аргумента3. Просмотр участков двумерных графиков Заключение Библиографический список Введение Общение с Mathcad происходит на...»

«Сценарий выпускного вечера в начальной школе. Цель: создать условия для развития творческих способностей у детей через активную деятельность при подготовке и проведении праздника.Задачи:развитие творческих способностей;воспитание ответственности, взаимопонимания, взаимопомощи, умения сотрудничать;создание атмос...»

«11 класс Урок №1. Тема: Атом. Химический элемент. Изотопы. Цель урока: закрепить знание понятий "атом", "молекула", "химический элемент"; познакомить с понятием "изотоп".Задачи: Образовательные – изучить строение, состав...»

«Обособленные приложения и дополнения1. Найдите приложения, поставьте, где необходимо, дефис. 1. На звук его голоса залетали проказницы синицы, которые всегда дразнили птицу. 2. Одно...»

«  Приложение № 1 к приказу График проведения промежуточной аттестации за 2016-2017 учебный год (начальная школа) Дата Вид работы Ответственные 10.05.2017 Словарный диктант (1-4классы) Подшивалова О.А. Кл. рук...»

«Методические рекомендации по проведению практических работ по химии Новикова А. В.Химия-это наука экспериментально-теоретическая. Любая химическая теория подкрепляется и проверяется экспериментом, химическим опытом. Результат эксперимента это химический...»

«Сборник тестов по физике 1 курс Тест по разделу: "Молекулярная физика и термодинамика" Вариант 1 Какая из приведенных ниже величин,  соответствует порядку значения массы молекулы?          27                           -27                           10                       -10                         -3        А   10     кг        ...»

«Реферат Тема: Оценка параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами Состав: 73 страницы, 11 таблиц, 33 рисунка, 90 формул, 13 источников литературы Объект исследования: набор математиче...»

«Урок с использованием ЦОР по теме "Классификация углеводов. Моносахариды. Глюкоза". Класс: 10 Тема: Классификация углеводов. Моносахариды. Глюкоза.ЦОР: ресурсы Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru)...»

«Рабочая программа учебного предмета " Физика" (7 – 9 классы) Пояснительная записка Рабочая программа по физики для основной школы составлена на основе Фундаментального ядра содер...»

«Наличие и оснащеннос ть специализированных кабинетов Название кабинета % оснащенности Что отсутствует (перечислить) Химия 100% Физика 50% Система затемнения кабинета Набор геометрических измерительных инстру...»

«ОГБОУ СПО "Агротехнологический техникум г. Кораблино" Контрольные работы по учебной дисциплине ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ (раздел ФИЗИКА)ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 100116.01 парикмахер г. Кораблино 2014г. ОДОБРЕНО Составлена в соответствии с метод. комиссией требованиями Федерального протокол № от государственного председатель_ образовате...»

«Полный список пищевых добавок Е                      -    разрешенных в Российской Федерации                      -    не имеющих разрешение в Российской Федерации                      -    не упомянутых в документации Российской Федерации                      -    зап...»

«Экзаменационные вопросы кандидатского минимума по Философии математики 2017 г. ВМК Философия математики как область философских исследований Основные направления исследований в современной философии математики Программы обоснования математики в начале XX...»

«Дата:23.09.2015Урок:7 Класс:8в Тема:. Строение и функции нервной ткани Цель урока: Дать понятие о строении и функции ткани Задачи: -Познакомить учащихся, химическим составом клетки, как структурной единицы всего...»

«Аннотация к рабочей программе по специальности "Лабораторная диагностика" МатематикаЦели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения учебной дисциплины:В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь: реш...»

«Список публикацийШаповалов Александр Васильевич В базах данных Math-Net.Ru Публикаций: 220 Научных статей: 209 Ссылок на автора: 62 Цитированных статей: 12Статистика просмотров: Эта страница: 745 Страницы публикаций: 2361 Полные тексты: 677 Списк...»

«Работа 9. Создаем простые таблицы Задание 1 Откройте текстовый редактор Microsoft Word (Пуск – Все программы – Microsoft Office – Microsoft Word).Введите текст – название таблицы: Оценки за годНа вкладке Вс...»

«Школьная олимпиада по математике 2016-2017уч.год Задания школьного тура олимпиадыМАТЕМАТИКА 2016-2017 учебный год 5 класс.1.Угадайте корень уравнения у · у + 5 = 21 и выполните проверку.2.Попрыгунья Стреко...»

«Отчёт о работе Отдела теоретической физики ИФВЭ в 2010 г. Протвино 2010 Содержание Физика высоких энергий и физика 1 частиц Проблемы и методы квантовой и классической теории поля 3 Классическая и квантовая 5 гравитация. Космология Математическая физика 6 Список публикаций 7 Список р...»

«6.2 Опросный лист для заказа реакторного оборудованияв количестве _ шт. на _ год Предприятие/Заказчик_ Адрес Отрасль_ Цех/Подразделение ФИО Должность_ Номер: тел/факс e-mail Вопросы Ответы Технологические среды, которые будут загружаться в реактор: 1.1. Раствор или пульпа. 1.2. Химический состав; основные компоненты, [г/л]. 1...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Новосибирска "Лицей № 22 "Надежда Сибири"ПРИНЯТА На заседании методического объединения предметов естественнонаучного цикла Протокол № 2 от 12.09.2016 года Руководите...»

«Пояснительная записка Математика 3 класс УМК "Перспектива"1.Роль и место дисциплины Математика один из основных предметов в начальной школе. Изучение математики имеет особое значение в развитии младшего школьника. Приобретённые им знания, пер...»

«0-239395Внеклассное мероприятие "Химия – страна чудес и превращений" (Слайд № 1) Методические рекомендации: внеклассное мероприятие под таким названием проводится для учащихся 9 классов. Перед началом внеклассного мероприятия кабинет оформляет...»








 
2017 www.docx.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - интернет материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.