WWW.DOCX.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет материалы
 


«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Выпускная работа по«Основам информационных технологий» Магистрант кафедры теории функций, ММФ Заренок Максим ...»

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Выпускная работа по«Основам информационных технологий»

Магистрант

кафедры теории функций, ММФ

Заренок Максим Александрович

Руководители:

доцент кафедры теории функций

Рогозин Сергей Васильевич,

старший преподаватель

Кожич Павел Павлович

Минск – 2008 г.

Оглавление.

TOC \o "1-3" \h \z \u Реферат на тему: «Описание областей влияния базисных вейвлет-функций при помощи ИТ и построение решения задачи Дирихле для некоторых специальных областей.» PAGEREF _Toc216099089 \h 3Введение. PAGEREF _Toc216099090 \h 3Глава 1. Обзор литературы. PAGEREF _Toc216099091 \h 6Глава 2. Методика исследования. PAGEREF _Toc216099092 \h 7Глава 3. Основные результаты. PAGEREF _Toc216099093 \h 10Глава 4.Обсуждение результатов. PAGEREF _Toc216099094 \h 16Заключение. PAGEREF _Toc216099095 \h 18Список литературы. PAGEREF _Toc216099096 \h 20Предметный указатель. PAGEREF _Toc216099097 \h 21Интернет ресурсы в предметной области исследования PAGEREF _Toc216099098 \h 22Действующий личный сайт. PAGEREF _Toc216099099 \h 24Граф научных интересов. PAGEREF _Toc216099100 \h 25Презентация магистерской диссертации. PAGEREF _Toc216099101 \h 28Список литературы к выпускной работе. PAGEREF _Toc216099102 \h 31Приложения. PAGEREF _Toc216099103 \h 32

Реферат на тему:

«Описание областей влияния базисных вейвлет-функций при помощи ИТ и построение решения задачи Дирихле для некоторых специальных областей.

»Введение.Теория вейвлетов, или как их еще называют – всплесков, имеет истоки в таких классических областях математики, как теория функций вещественного переменного, теория функций комплексного переменного, функциональный анализ, анализ Фурье. Фактически вейвлет-анализ возник как обобщение анализа Фурье для исследования сильно локализованных нелинейных волновых процессов, которые следовало изучать в некоторых фиксированных диапазонах частот. Анализ Фурье – это хорошо разработанное направление, занимающее центральное место в математическом анализе и его приложениях. Фундаментальное значение во всех разделах науки и техники имеют не только его технические приемы, но и возможности наглядной физической интерпретации. Более того, вычислительные аспекты рядов Фурье особенно привлекательны главным образом по причине свойства ортогональности этих рядов и простоты их выражения с использованием только двух функций: cos(x) и sin(x).

Так же, как и в анализе Фурье, «вейвлет-анализ XE "вейвлет-анализ" » имеет два существенных и важных раздела: «интегральное вейвлет-преобразование» и «вейвлет-ряды».

Под термином вейвлет-преобразования XE "вейвлет-преобразование" понимается либо:

интегральное вейвлет-преобразование XE "вейвлет-преобразование:интегральное вейвлет-преобразование" ;

в отличие от традиционного применяемого для анализа сигналов преобразования Фурье вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно в пространственной и частотной областях.

полудискретное вейвлет-преобразование XE "вейвлет-преобразование:полудискретное вейвлет-преобразование" определяет коэффициенты заданной функции в специально сконструированном вейвлет-базисе;





В этом случае вейвлет-преобразование одномерного сигнала состоит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами функции (вейвлета) посредствам масштабных изменений переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве (времени).

дискретное вейвлет-преобразование XE "вейвлет-преобразование:дискретное вейвлет-преобразование" – дискретному набору данных ставится в соответствие дискретный набор характеристик соответствующих частот.

Таким образом, в отличие от традиционного применяемого для анализа сигналов преобразования Фурье вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно в пространственной и частотной областях.

Далеко не случайно многие исследователи называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом» - название прекрасно отражает замечательное свойство метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Очень важна способность этого «микроскопа» обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднородного объекта и изучить его локальные свойства.

Способность вейвлетов найти идеальный компромисс между локализацией по времени и по чистоте путем автоматического выбора и подгонки под исследуемый сигнал ширин окна по обеим осям, соразмеряя их с положениями центров, является решающей характеристикой для их успешного использования при анализе сигналов сложной формы. Вейвлет-преобразование расчленяет сигнал (функцию) на отдельные частотные компоненты, что дает возможность изучать каждую из компонентой с разрешением, соответствующим ее масштабу, и, таким образом, получать хорошую частотно-временную локализацию.

Основной целью работы является решение задачи Дирихле для области ограниченной концентрическими окружностями в терминах вейвлет-анализа.

Особенностью поставленной задачи является, то, что она решается при помощи вейвлет-рядов. В работе используются ранее полученные результаты для концентрического кольца, описанные в статьях Субботина и Черных, где был построен базис гармонических в концентрическом кольце функций и через этот базис выражено решение задачи Дирихле для концентрических окружностей. Данное решение представляется в виде ряда, который содержит бесконечное число слагаемых.

Решение поставленной задачи достигается при помощи определения зон влияния базисных вейвлет-функций и, в частности, слагаемых, содержащихся в этих функциях, т.к. вейвлет-базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени. При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют целевой интерес.

Глава 1. Обзор литературы.

Уже имеются сотни, а, может быть и тысячи работ, посвященных вейвлетам. Поэтому представленный обзор далек от того что бы быть полным. Здесь указанные основные книги и авторы, которые необходимы для ознакомления с данной темой.

Две классические книги по вейвлет-теории написаны двумя основоположниками предмета: Иовом Мейером (1990) и Ингрид Добеши (1992). Книга Мейера требует знания математики на исследовательском уровне, в то время как книга Добеши доступна для более широкой аудитории. Много плодотворных результатов по вейвлет-теории впервые были представлены в работах Мейера (1985 – 1986), Малла (1988), Добеши (1988). Затем появились некоторые вытекающие из них монографии по вейвлетам (Чуи, Кайзер, Коорвиндер). Наиболее продвинутая и понятная книга, ориентированная на изложение математической теории вейвлетов, - это книга Хернандеза и Вайса (1996).

Выше перечисленные ученые – специалисты в чистой математике, квантовой механике, инженеры-электрики и инженеры акустики, при этом временной диапазон 80 – 90-ые года ХХ столетия. В дальнейшем, ввиду большой научной и практической актуальности, вейвлетами стали заниматься более широкий круг ученых.

Имеется несколько важных направлений развития основ вейвлет-теории:

вейвлет-пакеты (Куафман, 1989);

применение вейвлетов в сжатии сигналов (Викерхаузер, 1992);

вейвлеты и обработка сигналов (Теолис, 1998);

сжатие изображений и обработка изображений (улучшение контрастности) (Риул, 1991; Хилтон, 1994);

и т.д.

Одно из наиболее плодотворных применений вейвлетов – это численные методы решения дифференциальных уравнений. В качестве примеров можно привести статьи Жаффара (1992), Белкина (1993).

Глава 2. Методика исследования.Определение. Если удовлетворяет условию «допустимости»:

,

то называется «базисным вейвлетом XE "базисный вейвлет" ». Относительно каждого базисного вейвлета интегральное преобразование на определяется формулой

,,

где и.

Определение. Тождественно не равная нулю функция называется функцией-окном XE "функция-окно", если так же принадлежит. Центр и радиус функции-окна определяются как

и

,

соответственно; ширина функции окна равняется.

Пусть - базисный вейвлет, такой что и его преобразование Фурье являются функциями-окнами с центрами и радиусами соответственно. Тогда ясно, что интегральное вейвлет-преобразование

аналогового сигнала, локализует сигнал во «временном окне», с центром окна в и шириной, равной. В анализе сигналов это носит название «временной локализации».

Изложим вкратце результаты полученные при решении задачи Дирихле для концентрического кольца в работах. Эти результаты являются базой для наших дальнейших построений и рассуждений.

Системы функций являются базисами различных пространств гармонических в единичном круге функций. Здесь,, и при

,

- функция, тригонометрически сопряженная к

, - произвольные гладкие функции со следующими свойствами:

при ;

при ;

при ;

при и считается, что.

Так же в рассмотрение можно ввести следующие системы гармонических функций

в кольце. Каждая из систем является базисом различных пространств гармонических в кольце функций.

Пусть, - непрерывные -периодические (вещественные) функции. Можно видеть, что систему при любом и можно использовать для представления решения задачи Дирихле XE "задача Дирихле"

для кольца. А именно, справедлива формула

,

где, т.е. решение представляется в виде вейвлет ряда с бесконечным числом слагаемых.

Таким образом используя полученное ранее решение и основное свойство вейвлетов, а именно, их частотно-временную локализацию, будем искать области влияния базисных функций.

Первой сложностью, с которой мы сталкиваемся, является то, что мы работаем с функциями комплексной переменной, а предложенные формулы для функций вещественной переменной. Эту проблему мы решаем в ручную: путем замены переменных в интеграле и дальнейшим его вычислением по области ограниченной единичной окружностью с центром в начале координат. Но для вычисления интегралов и построения областей влияния используются возможности пакета Mathematica.

Пакет Mathematica является программным средством для проведения фундаментальных и прикладных математических исследований широкого спектра проблем современного естествознания.

Глава 3. Основные результаты.

Для решения поставленной нами задачи мы воспользуемся возможностями пакета Mathematica.

Возможности пакета Mathematica позволяют производить вычисления с любой точностью. Mathematica может производить расчеты с использованием большого числа специальных функций. Позволяет вычислять интегралы, численно решать алгебраические и дифференциальные уравнения и системы уравнения. Может обрабатывать численные данные, производя их статический анализ, а также производить Фурье-анализ, интерполяцию и аппроксимацию данных с помощью метода наименьших квадратов. Может работать не только с числами, но и с матрицами, обеспечивая выполнение всех операций линейной алгебры.

Практические все выше перечисленные возможности данного математического пакеты будут нами использованы для достижения поставленной цели.

Рассмотрим базисную функцию

и обозначим за n= 2j+1cos2(k+12)2j+1zcosx, где n – номер базисной функции, – номер слагаемого в базисной функции.

Начнем исследование с вычисления координат центра области влияния слагаемых входящих в базисную функцию.

t*=z<1znz2dz=Bz<1zz2(cos(x))2dz==B0102rcosx+risinxr2cos2xrdrdx==B01r2+2dr02cosx+isinxcos2xdxгде B=2j+1cos2(k+12)2j+1.

Теперь используя возможности пакета Mathematica, вычисляем значения полученных интегралов.

Очевидно, что 01r2+2dr=13+2.

Вычисляя второй интеграл, мы получаем, что 02cosx+isinxcos2xdx=0. Данные вычисления показали, что центр области влияния любого слагаемого входящего в базисную функцию лежит в начале координат точке (0; 0), следовательно, и центр области влияния любой базисной функции находится в данной точке, но такая ситуация невозможна. Исходя из этого, мы переходим к более глубокому исследованию подынтегральной функции.

Mathematica может строить двумерные и трехмерные графики функций, заданных явно или в параметрической форме, а также контурные графики и графики плотности. Аналогично можно изображать и численные данные.

Начнем анализ данной функции с построения ее графика, используя возможности пакета Mathematica для более точного рисунка. Т.к. функция комплекснозначная, то зададим ее параметрическим способом:

u=cosxcos2xv=sinxcos2x.

Построив график подынтегральной функции при различных, получаем следующие рисунки:

1319530520700

131064034290001293495185420

Рассмотрев графики функций, можем заметить некоторую закономерность, а именно для -ого слагаемого получается «роза» с 2 лепестками. И теперь от интегрирования по всей области ограниченной единичной окружностью, переходим к интегрированию по круговому сектору, градусная мера, которого равна.

Тогда tnl=1n22-2+l2+lz n(z)2dz=4242-1sin2eil,

т.е. -ое слагаемое n-ой базисной функции имеет 2 центров окон влияния лежащих на окружности, следующим образом

(=13)

или

(=39).

Аналогично, используя формулу радиуса окна находим границы области влияния.

=122-+x-t*2x2dx12=

122-+x2x2dx+2t*22-+xx2dx+(t*)222-+x2dx12=

=122-+x2x2dx-2(t*)2+(t*)212.

Подставляя полученный ранее центр окна в предыдущую формулу, получаем его радиус. Подробное вычисление и конечная формула радиуса окна влияния не приводятся в данном реферате из-за их сложности. Хотелось бы заметить, что вычисление данного интеграла, получение ответа и его упрощение без использования компьютера потребовало бы большого количества времени.

Окно будет иметь вид усеченного кругового сектора, а именно

Рисунок имеет единственную неточность: радиус области влияния очень маленький по сравнению с расстояние от центра окна до начала координат. Рассчитано, что при расстоянии от центра окна до начала координат равном 0.04 радиус окна равен 1.8*10-21, а при расстоянии – 0.02 радиус равен 8*10-44.

Построив области влияния для каждого слагаемого базисной функции, построим область влияния для всей базисной функции.

Для 4 имеем следующий рисунок

для 8

а для 32.

Таким образом мы видим, что областью влияния каждой базисной функции является кольцо и при увеличении номера функции радиус внутренней и внешней окружности ограничивающих кольцо стремятся к нулю, т.е. уменьшается и ширина кольца.

Глава 4.Обсуждение результатов.

В предыдущей главе был получен результат о том, что областью влияния базисной вейвлет-функции является кольцо. Данная кольцо имеет особенностью то, что при увеличении номера функции радиус внутренней и внешней окружности ограничивающих кольцо стремятся к нулю, т.е. уменьшается и ширина кольца.

Вспомним условие задачи Дирихле для кольца

.

Решение данной задачи записывается в виде ряда

, где.

Радиус внутренней окружности кольца фиксирован, а т.к. область влияния базисных функций сужается и стремится к нулю, следовательно с некоторого номера область влияния базисных функций не имеет общих точек с кольцом для которого решается наша задача. Значит в решении мы можем оставить конечное число членов. Области влияния базисных функций этих членов имеют общие точки с кольцом, для которого решается задача.

Данный результат полностью согласуется с аналитическими исследованиями асимптотического поведения решения задачи Дирихле на данной области, что говорит правильности вычислений.

Хотелось бы отметить, что решения данной задачи без использования информационных технологий, а именно возможностей пакета Mathematica, было бы проблематично, начиная с первого шага. Решение интегралов, построение графиков и областей влияния при помощи пакета Mathematica дает нам достаточно точные вычисления, уменьшает вероятности ошибки в вычислениях, поэтому на каждом этапе был возможен объективный анализ результатов.

В принципе построение области влияния для базисных функций вручную невозможно, а значит не было бы возможным и получение данного результата. Аналитическое доказательство, того что данная область кольцо потребовало бы большего количество и времени и труда, чем графическое полученное при помощи компьютера.

Заключение.Красота математического аппарата вейвлет-анализа и его практическая польза привлекают к себе внимание исследователей, работающих как над фундаментальными, так и над чисто прикладными проблемами. Более того, уже появляются результаты, имеющие коммерческий выход.

Уникальные математические свойства вэйвлетов сделали их очень мощным инструментом анализа и последующего синтеза любого сигнала. Свойство ортогональности позволяет получать независимую информацию на разных масштабах. Нормируемость обеспечивает сохранение величины информации на различных этапах преобразования. Свойство локальности помогает получить знание о тех конкретных областях, в которых проявляют себя изучаемые масштабы (частоты). Наконец, полнота вейвлет-базиса, образованного сжатиями и сдвигом некой функции, обеспечивает возможность совершить обратное преобразование.

Все эти свойства позволяют, используя вэйвлет-преобразование, анализировать сложные сигналы на разных масштабах и в разных точках, решать уравнения, описывающие исключительно сложные нелинейные системы, содержащие взаимодействия на многих шкалах, изучать резко изменяющиеся функции и т.д. Вэйвлет-преобразование легко обобщается на множества любых размерностей и потому может применяться также и для анализа многомерных объектов. Благодаря этому вейвлеты незаменимы при распознавании объектов.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что развитие информационных технологий дало мощный толчок не только в математических исследованиях, но и в других сферах деятельности.

Информационные технологии в математике дают нам возможность быстро, точно и безошибочного вычисления, что позволяет получать необходимые результаты и делать их объективный анализ и моделирование.

Построение вейвлетов, исследование их свойств, построение вейвлет преобразований и работа с сигналами при помощи вейвлет-аппарата очень трудоемкий процесс. И как видно из работы применение компьютерных технологий в данной области существенно облегчает работу с вейвлетами.

Список литературы.Чуи К. Введение в вейвлеты. Москва: «Мир», 2001. – 412 с.

Фрейзер М. Введение в вейвлеты в свете линейной алгебры. Москва: «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2008. – 487 с.

Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 464 с.

Субботин Ю.Н., Черных Н. И. Гармонические всплески и асимптотика решения задач Дирихле в круге с малым отверстием. // Математическое моделирование, 2002 год, том 14, номер 5, стр. 17 – 30.

Субботин Ю.Н., Черных Н.И., Всплески в пространствах гармонических функций. // Известия РАН: серия математическая, 2000, том 64, номер 1, стр. 145 – 174.

Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков. // Успехи математических наук, 1998, том 53, номер 6 (324), стр. 53 – 128.

Предметный указатель. INDEX \h "A" \c "1" \z "1033"

Б

базисный вейвлет, 7

В

вейвлет-анализ, 3

вейвлет-преобразование, 3

дискретное вейвлет-преобразование, 4

интегральное вейвлет-преобразование, 3

полудискретное вейвлет-преобразование, 3

З

задача Дирихле, 9

Ф

функция-окно, 7

Интернет ресурсы в предметной области исследования.

http://wavelet.org. – англоязычный компьютерный журнал Wavelet Digest, который содержит большое количество информации по вейвлетам.

http://stat.stanford/edu/wavelab - библиотека стандартных программ по вейвлетам и частотно-временным преобразованиям WaveLab, разработанная в Стенфордском Университете США.

http://wavelet.narod.ru – «Русский Вейвлет-Дайджест» – на этом сайте много русскоязычной информации по вейвлет-анализу; в разделе «Люди» перечислены ученые и специалисты, работающие в области теории и применения вейвлет-функций.

http://www.math.spbu.ru/~dmp – сайт Санкт-Петербургского семинара «Всплески и их применения», на котором можно получить сведения о русскоязычных публикациях и о российских конференциях по данной тематике.

http://www.mathsoft.com/wavelet.html – сайт содержит огромный список публикаций по теории и приложениям вейвлетов.

http://exponenta.ru – образовательный математический сайт. На сайте можно найти электронные книги, статьи по популярным математическим пакетам, ознакомиться с примерами их применения, получит новую информацию.

http://lib.mexmat.ru – в этом разделе можно посмотреть аннотации на различные книги, журналы и статьи. Существуют форумы по разным естественным дисциплинам, в том числе и по механике. Сайт постоянно снабжается свежими новостями из мира науки.

http://math.ru - библиотека книг по математике. Видео-лекции. Информация о математиках. Исторические сюжеты.

http://mathnet.ru – это общероссийский математический портал, предоставляющий российским и зарубежным математикам различные возможности в поиске информации о математической жизни в России, здесь так же можно скачать много полезных книг по математике.

http://planetmath.org – математическая энциклопедия, где собрано много информации начиная историей математики, заканчивая последними ее достижениями и приложениями.

http://vac.org.by – сайт Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь, собраны все нормативные акты, касающиеся оформления и защиты диссертаций, а так же большое количество другой полезной информации для магистрантов, аспирантов и др.

http://wolfram.com – официальный сайт компании S.Wolfram Reseach Ltd. Содержит разделы в которых собраны примеры использование программных продуктов компании, что очень для реализации решения задач.

Действующий личный сайт.http://zarenokma.narod.ru

Граф научных интересов.Магистрант Заренок М.А., механико-математический факультет.

Специальность: математический анализ

Смежные

специальности

01.01.03 –

дифференциальные уравнения;

Развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, интегральных, интегро-дифференциальных, функционально-дифференциальных, дифференциально-операторных уравнений и дифференциальных уравнений со случайными параметрами.

Обоснование численных методов решения дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, функционально-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений.

Разработка методов дифференциальных уравнений для решения задач механики, математической физики и других прикладных наук.

01.01.05 –

теория вероятностей и математическая статистика;

Вероятностные пространства и случайные элементы.

Предельные теоремы.

Случайные процессы и поля.

Стохастический анализ и стохастические дифференциальные уравнения.

Случайные процессы специального вида, включая процессы массового обслуживания.

Статистические выводы и анализ данных.

Последовательный анализ.

Непараметрическая и робастная статистика.

Статистика случайных процессов, полей и временных рядов.

Вероятностно-статистическое моделирование.

Основная

специальность

01.01.01 – математический анализ;

Теория функций действительного и комплексного переменного, обобщенные функции.

Специальные функции и интегральные преобразования.

Выпуклый, негладкий и многозначный анализ.

Теория приближений и методы численного анализа.

Вариационное исчисление и общая теория экстремальных задач.

Гармонический анализ.

Абстрактные и функциональные пространства, наделенные алгебраическими, топологическими, метрическими, порядковыми и др. структурами. Измеримые пространства.

Линейные и нелинейные операторы и специальные классы (дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные, разностные и др.) таких операторов.

Методы исследования абстрактных операторных уравнений, а также методы исследования дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, разностных и др. конкретных операторных уравнений.

Анализ на многообразиях,  p-адический анализ, нестандартный анализ, различные направления конструктивного анализа, интервальный анализ, анализ в упорядоченных пространствах.

Сопутствующие

специальности

05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Развитие качественных, аналитических, приближенных, численных и имитационных методов для подготовки и реализации этапов вычислительного эксперимента.

Развитие, обоснование и применение математических моделей для решения актуальных научных задач естествознания (физики, химии, биологии и др.), а также техники, медицины, экологии, экономики, социологии и других отраслей, рассмотрение вопросов точности, устойчивости и достоверности математического моделирования.

Разработка специализированных численных и имитационных методов с целью создания проблемно-ориентированных комплексов программ для решения актуальных научно- технических задач.

Презентация магистерской диссертации.

Список литературы к выпускной работе.Чуи К. Введение в вейвлеты. Москва: «Мир», 2001. – 412 с.

Фрейзер М. Введение в вейвлеты в свете линейной алгебры. Москва: «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2008. – 487 с.

Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 464 с.

Субботин Ю.Н., Черных Н. И. Гармонические всплески и асимптотика решения задач Дирихле в круге с малым отверстием. // Математическое моделирование, 2002 год, том 14, номер 5, стр. 17 – 30.

Субботин Ю.Н., Черных Н.И., Всплески в пространствах гармонических функций. // Известия РАН: серия математическая, 2000, том 64, номер 1, стр. 145 – 174.

Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков. // Успехи математических наук, 1998, том 53, номер 6 (324), стр. 53 – 128.

Стоцкий Ю., Самоучитель Office 2000. «Питер», 2000, стр. 608.

Голубева Л.Л., Малевич А.Э., Щеглова Н.Л. Компьютерная математика. Символьный пакет Mathematica. Курс лекций. – Мн.: БГУ, 2005.

Приложения.Ввиду громоздкости вычислений полный вариант решения задачи, находится в файле Apl-1.nb и Apl-2.nb.




Похожие работы:

«Разработка внеклассного мероприятия по математике Тема: Да здравствует, Математика!Цели: развитие логического мышления, внимания, интереса к предмету; формирование навыков общения, умения работать в коллективе. Ход игры Сегодня с нами те, кто хочет учиться с увлечением, все, кто любит тайны, загадки, приключения, кто любозна...»

«Пояснительная записка Рабочая программа курса химии 10-11 классов составлена на основе Федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по химии 2004 г.; учебного плана ОУ; авторской "Программы курса химии для 8-11 класс...»

«Методическая разработка интегрированного занятия по теме: Изменение белков при кулинарной обработке продуктов. Преподаватель: Дементьева Нина Евгеньевна.Цель проведения открытого занятия: Показать методику проведения интегрированного урока с элементами лабораторного занятия, организацию самостоятельной...»

«Пояснительная запискаРабочая программа по химии 11 класса составлена на основании:-Федерального закона "Об образовании в Российской Федерации" от 29.12.2012 № 273–ФЗ,-Федерального компонента государственного стандарта среднего (основного)общего образования, утвержденный Приказом Минобразования РФ от 05.03.2004, № 1089 в...»

«Обнинский институт атомной энергетики – филиал Национального исследовательского и ядерного университета "МИФИ" Программы подготовки бакалавров и магистров в ИАТЭ НИЯУ МИФИФИЗИКО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Направление Профили направлений Программы подготовки Перечень вступительных испытаний Пр...»

«СОЛИ АММОНИЯ Девиз урока: “Практика есть дерево жизни”. Цели. Систематизировать знания учащихся о солях; познакомить их с солями сложного катиона; изучить свойства, присущие солям аммония; научить распознавать эти...»

«О санитарно-эпидемиологической обстановке на территории Белгородской области с 23.06.2014г. по 30.06.2014г. Эпидемиологическая обстановка в области    Заболеваемость острыми кишечными инфекциями в городах и районах Белгородской области по совокупному населению меньше среднемноголетних показателей...»

«Извещение о закупке1. Способ закупки Открытый аукцион в электронной форме2. Номер лота и наименование лота Лот № 23/04-05/17 "Химические реактивы, реагенты и газовые смеси"3. Наименование предмета д...»

«№ Даты Тема урока Основные понятия урока Сопутствующее повторение Лаб.работы, демонстрации Оборудование к уроку Д/з МПС Связь с ГИА п/п в теме ПОВТОРЕНИЕ ОСНОВНЫХ ВОПРОСОВ КУРСА 8 КЛАССА И ВВЕДЕНИЕ В КУРС 9 КЛАССА (6 часов) агдВводный инструктаж по ТБ....»







 
2017 www.docx.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - интернет материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.