WWW.DOCX.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет материалы
 

«ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Яковлева С.Б., учитель математики МАОУ Гимназия № 1 г. Балаково Пояснительная записка Важную роль в обучении математике играют ...»

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Яковлева С.Б., учитель математики МАОУ Гимназия № 1 г. Балаково

Пояснительная записка

Важную роль в обучении математике играют задачи исследовательского характера. Именно такими, являются упражнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Теория аркфункций является своеобразным «зеркальным» отражением теории тригонометрических функций. Она содержит много интересных и разнообразных задач, помогает в развитии гибкости математического мышления.

Анализ ныне действующих учебников показал, что учебного материала по данной теме недостаточно. Материал, предложенный ученикам, носит ознакомительный характер, не позволяет отработать умения и навыки в решении заданий. Но совершенно очевидно, что, не сформировав у учащихся представления об обратных тригонометрических функциях, мы не можем считать, что научили их решать даже простейшие тригонометрические уравнения. Согласно статистике, проведенной Московскими институтами, решаемость заданий, содержащих обратные тригонометрические функции, составляет всего 44%. Следовательно, появилась потребность в организации обучения этому разделу учащихся, заинтересованных в продолжении обучения в учреждениях среднего и высшего профессионального образования. В связи с вышесказанным, возникает необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме «Обратные тригонометрические функции».

Предлагаемый курс «Обратные тригонометрические функции» своим содержанием может привлечь внимание учащихся 10-11 классов, которым интересна математика.



Задачи с нестандартными функциями позволяют школьнику заглянуть за «страницы» учебника, попробовать начать творческую исследовательскую работу, расширить свой кругозор. Стоит отметить, что навыки в решении задач, содержащих обратные тригонометрические функции, необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступать на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения.

Данный курс рассчитан на 18 часов и предназначен для учеников 10 класса, включает теоретический материал, решение типовых задач и заданий повышенной сложности, а также контрольные и проверочные работы. Разработанный курс направлен на решение следующих задач:

Дополнение и углубление базового курса по математике.

Формирование устойчивого интереса к предмету.

Ориентация в особенностях будущей профессии.

Ориентация на совершенствование навыков познавательной, организационной деятельности.

Выявление математических способностей учащихся.

Подготовка к ЕГЭ и к обучению в ВУЗе.

Для успешного и продуктивного изучения учебный материал «Обратные тригонометрические функции» следует разбить по темам.

Тема 1. Определение обратных тригонометрических функций, построение графиков (3 ч).

Понятие обратных тригонометрических функций. Построение графиков, нахождение области определения, области значения аркфункций. Нахождение значений выражений, содержащих обратные тригономет-рические функции.

Тема 2. Некоторые тождества с аркфункциями (3 ч).

Формирование умения работать с основными тождествами, содержащими обратные тригонометрические функции, научить доказывать тождества с аркфункциями, вычислять значения функций, составленных из обратных тригонометрических.





Тема 3. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции(8 ч).

Решение простейших уравнений с аркфункциями, решение уравнений левая и правая часть которых являются одноименные и разноименные обратные тригонометрические функции. Обобщение полученных знаний при решении уравнений с аркфункциями. Применение нестандартных методов решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции. Уравнение с аркфункциями, содержащие параметры.

Тема 4. Обратные тригонометрические функции в заданиях ЕГЭ (2ч).

Решение заданий единого государственного экзамена, содержащих обратные тригонометрические функции.

Формами итоговой аттестации является представление «Портфеля достижений», а также результаты теста. Тест составлен из двух вариантов. Предлагаемые материалы теста, как и задания ЕГЭ состоят из трех частей, разного уровня сложности. Также приведена таблица верных ответов и критерии оценки.

«Портфель достижений» должен включать:

конспекты занятий;

выполненные домашние задания;

итоги самостоятельных работ;

учебный проект «Использование свойств функций при решении уравнений, содержащих аркфункции»;

результаты контрольного теста;

анализ собственных успехов (в любой форме).

В результате обучения школьники должны знать:

Определения аркфункций, область определения, область значений обратных тригонометрических функций;

Основные тождества, содержащие аркфункции;

Основные типы уравнений, содержащие обратные тригонометрические функции и методы их решения.

Должны уметь:

строить графики, находить область определения, область значений обратных тригонометрических функций;

преобразовывать и находить значения выражений, содержащих обратные тригонометрические функции;

решать различные уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции;

овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования.

Содержание программы элективного курса

«Обратные тригонометрические функции»

№ Наименование тем курса Всего часов

1 Определение ОТФ. Построение графиков аркфункций. 3

2 Некоторые тождества для ОТФ 3

3 Уравнения и неравенства, содержащие ОТФ 8

4 ОТФ в заданиях ЕГЭ 2

5 Итоговый тест 2

Используемая литература

1. Бородихин В.М. Пособие для поступающих в Вузы. Новосибирск, 2002

2. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н. Задачи по математике. Уравнения и неравенства, 1988.

3. Галицкий М.А., Мошкович М.М., Шварцбург С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа, М.: Просвещение,1997.

4. Горнштейн П., Мерзляк А., Полонский В., Якир М. Экзамен по математике и его подводные рифы. Москва-Харьков: Илекса,1998.

5. Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков К.А. Единый государственный экзамен КИМ Математика, М: Просвещение, 2002.

6. Ершова А.П., Голобородько В.П. Алгебра и начала анализа (Самостоятельные и контрольные работы). М.: Илекса, 2004.

7. Иванова Т. Обратные тригонометрические функции// Математика, 2004, № 35.С.24-32.

8. Максимов А.П. Вступительные экзамены в вузы//Математика в школе, 2005, № 2.С. 34-45.

9. Мерлин А., Мерлина А. Нестандартные задачи по математике в школьном курсе. Конспект лекций// Математика, 2000, № 37, С.3-8.

10. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические уравнения и неравенства и методики их решения. Ставрополь: Ставропольсервисшкола, 2004.

11. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач. Учебное пособие для 11 класса образовательных учреждений М.: Просвещение, 1995.

12. Шестаков С., Галицкий М. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции// Математика, 2000. №14. С.19-23.

13. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика для поступающих в серьезные ВУЗы. Москва: Московский лицей, 1998.

Тема 1. Определение и графики обратных тригонометрических функций.

(3 ч)

Уроки 1-2.

Цели: повторить и уточнить знания учащихся; способствовать выработке навыков в вычислении значений выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Ход урока

Объяснение нового материала

1. Определение функции y=arcsin x.

Функция синус монотонна на отрезках, где она возрастает, и на отрезках где она убывает. Выделим промежуток. На этом промежутке функция синус возрастает, на левом конце промежутка (при функция достигает своего наименьшего значения, равного -1, а на правом конце (при своего наибольшего значения, равного 1. Таким образом, на промежутке функция является монотонной и непрерывной, принимает все cвои значения, следовательно, имеет обратную функцию, которую называют арксинусом* и записывают x = arcsin y.

Обозначая, независимую переменную буквой x, а зависимую y, будем писать y = arcsin x

*arcus (лат) – дуга

Таким образом,

Для любого x из отрезка имеем:

2. Свойства функции арксинус.

1. Область определения, область значения функции y =arcs in x.

по свойствам обратных функций (т.к. для функции )

2. Четность, периодичность функции y = arcsin x.

Докажем нечетность функции арксинус, то есть докажем равенство

arcsin(-x) = - arcsin(x).

Для доказательства установим, прежде всего, что углы arcsin(-x) и - arcsin(x) принадлежат одному и тому же отрезку.

Так как значения арксинуса заключены между и при любом значении аргумента, то.

Так как, то, поменяв знаки в обеих частях неравенства, получим, то есть тот же отрезок от до, что и для угла arcsin(-x).

Найдем теперь синусы этих углов:

.

Так как оба угла принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции, и синусы этих углов равны, то и сами углы равны. Значит,

arcsin(-x) =-arcsinx.

3. Точки пересечения графика функции y=arcsin x с осями координат.

y= 0, arcsin x=0, x=0.

Единственная точка – точка О(0;0).

4. Промежутки возрастания и убывания функции y=arcsin x.

По свойствам обратных функций выводим, что функция y=arcsin x непрерывна и возрастает (т.к. этим свойством обладает на отрезке функция ).

center4197355. Графики функций y=arcsin x и симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис 1).

3. Определение функции y=arсcos x.

Функция косинус монотонна на отрезках, где она убывает, и на отрезках,где она возрастает. Рассмотрим промежуток. На этом промежутке функция косинус убывает, на левом конце промежутка функция (при x=0) достигает своего наибольшего значения, равного 1, а на правом конце (при x=) своего наименьшего значения, равного -1. Функция y=cos x на промежутке является монотонной и непрерывной, принимает все свои значения, следовательно, имеет обратную функцию, которую называют арккосинусом и записывают x= arcсos y.

Обозначая, независимую переменную буквой x, а зависимую буквой y, будем записывать y=arccos x.

Таким образом,

Для любого x из отрезка [-1;1] имеем:

4. Свойства функции y=arccos x.

В этом пункте приводятся свойства функции y=arccos x без доказательства, доказательство этих свойств рекомендуется провести самостоятельно.

1. Область определения, область значений функции y=arccos x.

D(x)=[-1;1], E(y)=[0;].

2. Четность, периодичность функции y=arccos x.

Функция y=arccos x не является ни четной, ни нечетной, ни периодичной.

3. Точки пересения с осями координат.

Единственной точкой пересечения является точка с координатами.4. Промежутки возрастания и убывания функции.

Функция y=arccos x убывает на промежутке [-1;1], принимая наибольшее значение, равное, и наименьшее, равное 0, на правом конце промежутка.

center3498855. Графики функций y= arcos x и y=cos x симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (Рис 2).

5. Определение функции y=arctg x.

Функция тангенс определена на множестве интервалов и не определена в точках. Выделим промежуток. На этом промежутке функция тангенс возрастает и принимает все свои значения, следовательно, имеет обратную функцию, которую называют арктангенсом и записывают x=arctag y.

Обозначая независимую переменную буквой x, а зависимую буквой y будем писать y=arctg x.

Таким образом,

Для любого х имеем:

6. Свойства функции y=arctg x.

В этом пункте приводятся свойства функции y=arctg x без доказательства, доказательство этих свойств рекомендуется провести самостоятельно.1. Область определения, область значений функции y=arctg x.

D(x)=R, E(y)=.

2. Четность, периодичность функции y=arctg x.

Функция y=arctg x нечетная, непериодичная.

3. Точки пересечения графика функции y=arctg x с осями координат.

Единственной точкой пересечения графика функции с осями координат является точка с координатами (0;0).

4. Промежутки возрастания и убывания функции y=arctg x.

Функция y=arctg x является возрастающей на всей области определения.

5. Графики функций y= arctg x и y=tg x симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (Рис 3).

center71755

7. Определение функции y=arcctg x.

Функция котангенс определена на множестве интервалов, и не определена в точках. Выделим промежуток. На этом промежутке функция y=ctg x убывает и принимает все свои значения, следовательно, имеет обратную функцию, x=arcctg y.

Обозначая независимую переменную буквой x, а зависимую буквой y будем писать y=arcctg x.

Таким образом,

Для любого x, имеем

8. Свойства функции y=arcctg x.

1. Область определения, область значений функции y=arcctg x.

Используя свойства обратных функций, получим:

D(x)=R, E(y)=.

( Поскольку для функции y=ctg x областью определения является промежуток, а областью значений вся числовая прямая).

2. Четность, периодичность функции y=arcctg x.

Функция y=arcctg x. Является ни четной, ни нечетной, ни периодичной.

Докажем, что arcctg(-x) =.

По определению арккотангенса: 0 < arcctg (-x) <

Угол принадлежит тому же промежутку, так как 0 < arcctg x <.

то, поменяв знаки в обеих частях этого неравенства, получим, а.

Т.е. тот же интервал от 0 до.

Находим котангенсы этих углов:

сtg(arctg(-x))=-x; ctg(-arctgx)=-ctg(arcctgx)=-x.

Так как оба угла принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции котангенс, и котангенсы этих углов равны, следовательно, и углы равны. А значит, функция арккотангенс является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения графика функции y=arcctg x с осями координат.

x=0, arcctg 0=.

Значит, единственной точкой пересечения графика с осями координат является точка с координатами.

4. Промежутки возрастания и убывания функции y=arcсtg x.

По свойствам обратных функций получаем, что функция y=arcctg x убывает на всей области определения. (Поскольку функция y=ctg х убывает на всей области определения).

center6051555. Так как функции y=ctg х и y=arcсtg x взаимно обратные, то их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Функции называются обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями.

Домашнее задание.

Повторить пройденный материал, доказать свойства функций арккосинус и арктангенс.

Предложить учащимся задания из написанных ниже задач для самостоятельного решения.

Урок 3.

Цель: закрепить изученный материал.

Ход занятия.

Пример 1. Найти область определения функции y= arcsin(x-2).

Решение. Т.к. D(arcsinx)=[-1;1], поэтому

Ответ. D(y)=[1;3].

Пример 2. Найти область значения функции y= arccos x - 2.

Решение.

Т.к. =, поэтому

Ответ..

Пример 3. Найдите значение выражения

.

Решение.

Ответ. -5,5.

Пример 4. Расположите числа в порядке возрастания

Решение.

Т.к. функция - нечетная, получим.

Сравним и, функция возрастает на всей области определения, поэтому, т.к., получим, <. Имеем,

Пример 5. Вычислить

Решение.

Ответ.

Пример 6. Построить график функции.

Решение.

1. D (y) = [-1; 1].

center38102. Т. к. y =x, то E (y)= [-1; 1].

Домашнее задание. Повторить пройденный материал. Предложить учащимся задания из написанных ниже задач для самостоятельного решения.

Для промежуточного контроля знаний можно использовать самостоятельную работу № 1 (см Приложение).

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти область определения следующих функций:

2. Найти область определения следующих функций:

3. Найти область значений следующих функций

4. Найти область значений следующих функции

5. Найдите значения выражений:

.

6. Найдите значения выражений:

7. Что больше:

или

или

или

или

или

или

или

или

или

или

или

8. Расположите числа в порядке возрастания.

9. Вычислить

10. Построить графики следующих функций:

Ответы к некоторым заданиям.

38862007962901. 1) [8; 10]; 2) [-1,5; 2,5]. 2. 1) [-1; 5]; 2) R. 3. 1) [2; +2]; 2). 4. 1) 2). 5. 1) 1; 2) 3) 4) 6. 1) 2) 3) ; 4) 9. 1) 2) 0; 3) 4) 10. 1)

160020072390

5) 5)

Тема 2. Некоторые тождества для обратных тригонометрических функций (3 ч)

Уроки 4-5.

Цель: Познакомить учащихся с некоторыми тождествами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Ход урока

Для обратных тригонометрических функций выполняются некоторые тождества, справедливость которых доказывается с помощью графиков – arcsin x, arcсos x, arctg x, arcctg x и свойств обратных функций.

I sin(arcsin y)= y,

cos(arccos y)=y,

tg(arctg y )=y,

ctg(arcctg y)=y,

II. arcsin(sin x)=x,

arccos(cos x)=x,

arctg(tg x)=x,

arcctg(ctg x)=x,

III. arcsin(-a)=-arcsin a;

arccos(-a)=

arctg(-a)=-arctga arcctg(-a)=

Эти задания помогают повторить основные тригонометрические формулы и тождества.

Пример 1. Вычислите cos(arcsin(-0,6)).

Решение.

сos(arcsin(-0,6))=cos(-arcsin0,6)=cos(arcsin 0,6).

Обозначим arcsin 0,6=a,.

Тогда sin a=0,6,

Ответ. 0,8.

Пример 2. Упростите выражение cos(arcsin x), где

Решение.

Положим y=arcsin x. Тогда и sin y=x. Чтобы найти cos y, воспользуемся соотношением Получим Но. Косинус принимает только положительные значения на отрезке, поэтому, т.е., где

Пример 3. Доказать arcsin x + arccos x =

Решение.

Положим и, получим и.Следовательно,. Значит,, так как углы и заключены между и и синусы этих углов равны. Т.о, получим arcsin x + arccos x = Тождество доказано.

Предложенные задания помогают повторить формулы приведения.

Пример 4. Упростить выражение

Решение.

Пусть, значит,.

Найдем, используя тождество

Значит,

Ответ.

Пример 5. Упростить выражение

Решение. Для решения задания применим формулу двойного аргумента.

Обозначим

Ответ.

Пример 6. Упростить выражение

Решение. Обозначим:

Значит,

Ответ. 1.

Пример 7. Построить график функции

Решение.

1. D (y)=R, кроме x=0.

2. y (-x) =- функция нечетная, поэтому график будем строить только для x > 0.

3. для x > 0 (Т.к. углы и находятся в первой четверти и ).

Следовательно, для x>0, получим

Значит, для x > 0, получим

centerbottom

Домашнее задание. Повторить пройденный материал. Предложить учащимся задания из приведенных ниже задач для самостоятельного решения.

Урок 6.

Цель: способствовать выработке навыка решения задач, содержащих обратные тригонометрические функции

Ход урока

Занятие можно провести в виде семинара, задания для семинара и домашней работы можно выбрать из приведенных ниже задач для самостоятельного решения.

После изучения этой темы для поверки усвоения изученного материала рекомендуется провести самостоятельную работу № 2 (Приложение).

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислите

Вычислите

Докажите тождества

arctg x + arcctg x =

sin(arcos x)=

cos(arcsin x)=

sin(arctg x)=

tg(arcsin x)=

Упростите выражение

Проверьте справедливость равенств

Доказать, что

Доказать, что

Упростите выражения

Проверьте равенства

Проверьте равенства

10. Построить графики следующих функций:

.

Ответы к некоторым заданиям.

1. 1) 0; 2) 3) 4) 2. 1) 4. 1) 2) 5)

343852513525510. 1) 2)

-60960-367665

Тема 3. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.

(8 ч)

Тема «Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции» в стандартах для базового уровня записана курсивом, она должна присутствовать в обучении, но не выноситься на итоговый контроль. Изучение более сложных уравнений и неравенств не предусмотрено в стандартах, даже на профильном уровне. Однако учащихся, которые будут сдавать вступительные экзамены в ВУЗ, необходимо к ним готовить.

Для полного и успешного изучения этой темы следует рассмотреть следующие типы уравнений:

Решение простейших уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным.

Уравнения, левая и правая части которых, являются одноименными обратными тригонометрическими функциями.

Уравнения, левая и правая части которых, являются разноименными обратными тригонометрическими функциями.

Уравнения, которые решаются с помощью свойств функций.

Уравнения, содержащие параметр.

Урок 7-8.

Цель: познакомить учащихся с решением простейших уравнений, а также уравнений, левая и правая часть которых являются одноименные и разноименные обратные тригонометрические функции; закрепить изученный материал в ходе решения упражнений.

Ход урока

1. Решение простейших уравнений.

a)

б)

в)

г)

Пример 1. Решите уравнение

Решение.

а. Значит, уравнение не имеет решений.

Ответ. Корней нет.

Пример 2.

Решение.

х=2, х=4.

Ответ. 2; 4.

Пример 3.

Решение.

Учитывая, что получим,

Ответ. 0,5.

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Пример 4.

Решение. Обозначим получим

Вернемся к переменной х.

Ответ.

Пример 5.

Решение.

Обозначим получим

Вернемся к переменной х.

Ответ.

3. Уравнения, левая и правая часть которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями.

Решение уравнений, левая и правая часть которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основывается на свойстве монотонности этих функций. Напомним, что функции y=arcsin x и y=arctg x монотонно возрастают, а функции y=arccos x и y=arcctg x монотонно убывают на своих областях определения. Поэтому справедливо

Замечание. В системах a) и b) второе неравенство может быть, зависит от того какое неравенство проще.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Уравнение равносильно системе

Ответ.

4. Уравнения, левая и правая часть которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями.

Если в уравнение входят выражения, содержащие обратные тригонометрические функции, или они зависят от разных аргументов, то сведение уравнение к его алгебраическому следствию осуществляется обычно вычислением некоторой тригонометрической функцией от обеих частей уравнения. Получающиеся при этом посторонние корни отделяются проверкой.

Пример 7.

Решение.

Левую часть этого уравнения можно преобразовать к виду

Правая часть примет вид

Получим,

Имеем,

При х=0 обе части этого уравнения равны. Следовательно, х=0 является корнем уравнения.

Ответ. 0.

Пример 8.

Решение.

Проверка. При х=-2 имеем 0=0, верно, следовательно, х=-2 – корень уравнения.

При х=4 имеем неверно, арккосинусы не определены, следовательно, x=4 не является корнем уравнения.

Ответ. -2.

4.1. Уравнения, левая и правая часть которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями.

Рассмотрим еще один способ решения таких уравнений, основанный на применении известных тригонометрических тождеств. При решении уравнений такого рода бывает целесообразно не выполнять равносильные преобразования, а переходить к уравнению следствию и после его решения необходимо сделать проверку.

Пусть требуется решить уравнение Предположим, что - решение этого уравнения.Обозначим через.

Тогда откуда Итак,

Рассуждая аналогично можно получить следующие переходы:

Корнем каждого из уравнений может быть только такое число, для которого и

Пример 9. Решить уравнение.

Решение.

Корень является посторонним.

Ответ. 1.

Домашнее задание. Повторить пройденный материал. Предложить учащимся задания из приведенных ниже задач для самостоятельного решения.

Урок 9-10. Семинар.

Цель: способствовать выработке навыков решения задач, содержащих обратные тригонометрические функции.

Ход урока

Занятие можно провести в виде семинара, задания для семинара и домашней работы можно выбрать из приведенных ниже задач для самостоятельного решения.

После изучения этой темы для поверки усвоения изученного материала рекомендуется провести самостоятельную работу № 3 (Приложение).

Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнение

Решите уравнение:

Решите уравнение

Решите уравнение

Решите уравнение

Решите уравнение

Решите уравнение:

Решите уравнение :

Решите уравнение :

Решите уравнение :

Решите уравнение :

Решите уравнение :

13. Докажите, что уравнение не имеет решения:

Ответы.

1. 1) 2) -4; -2; 3) -2; -1; 4) 2. 1) 2) 1; 3) 4) 5) -2; 3,6; 5. 1) 2) 6. 1) 2) 3; 7. 1) 2) 1; 3) 4) 2; 8. 1) 1; 2) -3; 9. 1) sin 1; 2) sin 1; 10. 1) [0; 1]; 2) [-1; 1]; 11. 1) 1,25; 2) 3; 5; 12. 1) 1. Урок 11.

Использование свойств функций при решении уравнений, содержащих аркфункции.

Цель: научить школьников решать уравнения, используя свойства функций.

Ход занятия

Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основывается исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.

Теорема 1. Если функция y=f(x) монотонна, то уравнение f(x)=c (c-const) имеет не более одного решения.

Теорема 2. Если функция y=f(x) монотонно возрастает, а функция y=g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.

Теорема 3. Если то на множестве X уравнение f(x)=g(x) равносильно системе

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Функция является монотонно возрастающей, а функция - монотонно убывающей, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Методом подбора найдем корень уравнения. Число х = 0,5 является корнем этого уравнения.

Ответ. 0,5.

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Пусть Тогда уравнение примет вид Функции являются монотонно возрастающими. Поэтому функция также является возрастающей. Поэтому уравнение имеет не более одного корня. Очевидно, что t=0 является корнем этого уравнения, поэтому

Ответ. -1; 0.

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Т.к. при то левая часть уравнения не превосходит Знак равенства возможен, если каждое слагаемое левой части равно Таким образом, уравнение равносильно системе:

Ответ.

Рассмотрим метод решения уравнений вида f(x)=g(x), основанный на использовании областей определения функций f(x) и g(x). Этот метод наиболее результативен при решении уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, т.к. эти функции имеют ограниченную область определения.

Утверждение 1. Пусть имеется уравнение вида f(x)=g(x),

D(f) – область определения функции f(x),

D(g) – область определения функции g(x) и

то если уравнение f(x)=g(x) имеет решение, то им является число а.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функции и

Тогда. Следовательно, если уравнение имеет корень, то им может быть только x=1. Проверим это с помощью прямой подстановки значения x=1 в уравнение

Так как, то x=1- единственный корень данного уравнения.

Утверждение 2. Пусть имеется уравнение вида f(x)=g(x), причем

D(f) – область определения функции f(x),

D(g) – область определения функции g(x).

Если, то действительные корни уравнения находятся среди чисел. Если ни одно из чисел не является корнем, то уравнение решений не имеет.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функцию и

,

.

Проверим, являются ли эти числа корнями уравнения:, значит -1 – корень уравнения. При подстановке в уравнение х=1 получаем ложное равенство, следовательно, число 1 не является корнем уравнения.

Задачи для самостоятельного решения.

Решить уравнение.

Домашнее задание. Выполнить проект по теме «Использование свойств функций при решении уравнений, содержащих ОТФ».

Урок 14-15.

Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

I. Решение неравенств, левая и правая часть которых представляют собой одноименные аркфункции различных аргументов, основывается на свойстве монотонности обратных тригонометрических функций. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.

Пример 1. Решить неравенство.

Решение. Неравенство равносильно

Ответ.

Пример 2. Решить неравенство

Решение.

Ответ..

Пример 3. Решить неравенство

Решение.

Ответ. -2.

II. При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой разноименные обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций.

Пример 4. Решить неравенство

Решение.

Рассмотрим функцию и решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем D(f). Для этого решим систему

2. Найдем нули функции f(x). Для этого решим уравнение

Проверка.

х=1 получим - верно

х=-2 получим неверно, следовательно, х=-2 является посторонним корнем.

3. Решим неравенство методом интервалов.

Ответ..

Домашнее задание. Повторить пройденный материал. Предложить учащимся задания из написанных ниже задач для самостоятельного решения.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решите неравенства:

2. Решите неравенствa:

Ответы.

1. 1) 2) 3) 4) {0; 1}; 5) 6)

2. 1) 2) 3)[2; 2,5]; 4) {-1; 2}; 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Урок 12-13.

Параметры при решении уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Предлагаемые задачи с параметрами предназначены для организации исследовательской работы учащихся при повторении курса «Обратные тригонометрические функции». Этот материал можно использовать при подготовке к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения, а также к сдаче ЕГЭ.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Рассмотрим два случая:

1) а=0. В этом случае система примет вид:

2) В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни и. Так как то Если то Если то уравнение имеет два корня.

Ответ. при при и при прочих a решений нет.

Пример 2. Решите уравнение.

Решение.

где

Ответ. При

при

при решений нет.

Пример 3. Решите уравнение.

Решение., где

, где

Ответ при при решений нет.

Пример 4. Решите уравнение

Решение.

С другой стороны, и, где

Ответ. При при решений нет.

Пример 5. При каких значениях параметра а, уравнение

имеет решение?

Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:

Значит,

Ответ. При а=6 уравнение имеет единственное решение х=2.

Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнение:

Найдите все неотрицательные значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет решение:

Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет решение:

Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение, и укажите это решение:

Ответы.

1.1) при при а=-2,, при остальных значениях а решений нет. 2) при при при остальных значениях а решений нет.3) при при и при остальных значениях а решений нет.4) при при и при остальных значениях а решений нет. 2. 1) ; 2). 3. 1) ; 2). 4. 1), ; 2).

Урок 10-11.

Использование свойств функций при решении уравнений, содержащих аркфункции.

Цель: научить школьников решать уравнения, используя свойства функций.

Ход урока

Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основывается исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.

Теорема 1. Если функция y=f(x) монотонна, то уравнение f(x)=c (c-const) имеет не более одного решения.

Теорема 2. Если функция y=f(x) монотонно возрастает, а функция y=g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.

Теорема 3. Если то на множестве X уравнение f(x)=g(x) равносильно системе

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Функция является монотонно возрастающей, а функция - монотонно убывающей, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Методом подбора найдем корень уравнения. Число х = 0,5 является корнем этого уравнения.

Ответ. 0,5.

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Пусть Тогда уравнение примет вид Функции являются монотонно возрастающими. Поэтому функция также является возрастающей. Поэтому уравнение имеет не более одного корня. Очевидно, что t=0 является корнем этого уравнения, поэтому

Ответ. -1; 0.

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Т.к. при то левая часть уравнения не превосходит Знак равенства возможен, если каждое слагаемое левой части равно Таким образом, уравнение равносильно системе:

Ответ.

Рассмотрим метод решения уравнений вида f(x)=g(x), основанный на использовании областей определения функций f(x) и g(x). Этот метод наиболее результативен при решении уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, т.к. эти функции имеют ограниченную область определения.

Утверждение 1. Пусть имеется уравнение вида f(x)=g(x),

D(f) – область определения функции f(x),

D(g) – область определения функции g(x) и

то если уравнение f(x)=g(x) имеет решение, то им является число а.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функции и

Тогда. Следовательно, если уравнение имеет корень, то им может быть только x=1. Проверим это с помощью прямой подстановки значения x=1 в уравнение

Так как, то x=1- единственный корень данного уравнения.

Утверждение 2. Пусть имеется уравнение вида f(x)=g(x), причем

D(f) – область определения функции f(x),

D(g) – область определения функции g(x).

Если, то действительные корни уравнения находятся среди чисел. Если ни одно из чисел не является корнем, то уравнение решений не имеет.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функцию и

,

.

Проверим, являются ли эти числа корнями уравнения:, значит -1 – корень уравнения. При подстановке в уравнение х=1 получаем ложное равенство, следовательно, число 1 не является корнем уравнения.

Задачи для самостоятельного решения.

Решить уравнение.

Домашнее задание. Выполнить проект по теме «Использование свойств функций при решении уравнений, содержащих ОТФ».

Урок 13-14.

Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

I. Решение неравенств, левая и правая часть которых представляют собой одноименные аркфункции различных аргументов, основывается на свойстве монотонности обратных тригонометрических функций. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.

Пример 1. Решить неравенство.

Решение. Неравенство равносильно

Ответ.

Пример 2. Решить неравенство

Решение.

Ответ..

Пример 3. Решить неравенство

Решение.

Ответ. -2.

II. При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой разноименные обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций.

Пример 4. Решить неравенство

Решение.

Рассмотрим функцию и решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем D(f). Для этого решим систему

2. Найдем нули функции f(x). Для этого решим уравнение

Проверка.

х=1 получим - верно

х=-2 получим неверно, следовательно, х=-2 является посторонним корнем.

3. Решим неравенство методом интервалов.

Ответ..

Домашнее задание. Повторить пройденный материал. Предложить учащимся задания из написанных ниже задач для самостоятельного решения.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решите неравенства:

2. Решите неравенствa:

Ответы.

1. 1) 2) 3) 4) {0; 1}; 5) 6)

2. 1) 2) 3)[2; 2,5]; 4) {-1; 2}; 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Приложение

Самостоятельные работы

Самостоятельная работа №1

Вариант 1 Вариант 2

1. Учитывая область значений аркфункции, вычислите:

а) а)

б) б)

2. Найдите область определения функции:

а) а)

б) б)

3. Найдите область определения и область значений функции:

а) а)

б) б)

Ответы.

№ Вариант 1 Вариант 2

1 а)

1 б)

2 а)

2 б)

3 а)

3 б)

Самостоятельная работа № 2

Вариант 1 Вариант 2

1. Вычислите:

а) а)

б) б)

в) в)

2. Определите, при каких значениях параметра, а выполняется тождество, и докажите его:

а) а)

б) б)

в) в)

г) г)

д) д)

Ответы.

№ Вариант 1 Вариант 2

1 а)

1 б) 5

1 в)

2 а)

2 б)

2 в)

2 г) R R

2 д)

Самостоятельная работа № 3.

Вариант 1 Вариант 2

Решите уравнения:

а) а)

б) б)

в) в)

г) г)

Ответы.

№ Вариант 1 Вариант 2

а) -1

б)

в) -2 1

г)

Итоговый тест

Часть А.

1. Вычислите:

А. Б. В. Г. Д.

2. Вычислите:

А. Б. 0 В. Г. Д.

3. Вычислите:

А. Б. 0 В. Г. Д.

4. Вычислите:

А. Б. В. Г. Д.

5. Вычислите:

А. Б. В. Г. Д.

6. Какие из выражений не имеют смысла?

А. Б. В. Г. Д.

7. Вычислите:

А. Б. 8 В. Г. Д.

8. Упростите выражение

А. Б. 1. В.0. Г. 2. Д.

9. Вычислите:

А. Б. В. Г. Д.

10. Какие из перечисленных функций не определены при всех действительных х?

А.

Б.

В.

Г.

Д.

11. При каких значениях параметра а число принадлежит промежутку ?

А. Б. В. Г. Д.

12. Укажите решение неравенства ?

А.. Б.. В.. Г.. Д..

Часть В1. Сколько целых чисел в области определения функции ?

2. Вычислите при ?

3. При каких значениях параметра a уравнение имеет решение?

Часть С.

1. Чему равно а, если ?

2. Решите неравенство

Ключ к тесту.

Часть А.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

В Г А Б В В Г Б Б Г Б Г

Часть В.

1 2 3

Три целых числа 0 При а = 6

Часть С.

1 2

Критерии оценки.

Каждое задание части А оценивается по 1 баллу, части В по 2 балла, часть С – 3 балла.

Оценка.

«3» - если ученик набрал от 6 до 11 баллов;

«4» - от 12 до 18 баллов;

«5» - от 19 до 24 баллов.

Похожие работы:

«Л.А. Солодова, заместитель директора по воспитательной работе Мероприятие "Этих дней не смолкнет слава!", посвященное открытию школьного музея Время проведения: 26. 02. 2015 года, в 12.00 Место проведения: актовый зал школыУчастники:педагогический коллект...»

«"Усовершенствование школьного демонстрационного эксперимента как средства улучшения преподавания физики" Предмет физики своеобразный в том плане, что изучение его предполагает обязательные демонстрации на уроке, постановку ф...»

«Муниципальное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 2 г.о. ЭлектростальУТВЕРЖДАЮ Директор МОУ СОШ № 2 _ Круглова А. В. дата М.П.Рабочая программа по предмету: "Русский язык" (базов...»

«Аймакинская средняя общеобразовательная школа им. Шамиля Л. З.Урок провела педагог социолог: Магомедова Патимат Магомедовна "Космос – человечеству" Здравствуйте! Тема нашего урока "Космос – человечеству". Наш урок посвящен 50 летию...»

«ТЕСТ ДЛЯ РОДИТЕЛЕЙ: Правильно ли Вы воспитываете своего ребенка? У каждого взрослого свои представления о воспитании, которые почти всегда результат определенного жизненного опыта, семейных традиций, образовател...»

«Интегрированный урок по русскому и английскому языку "Степени сравнения имен прилагательных". Подготовили Учителя МКОУСОШ №5 города Беслана РСО-Алания: учитель русского языка и литературы Тедеева Светлана Исламовнаучитель английского языка Кастуева Залина ТугановнаИнтегрирова...»

«Внеклассное мероприятие "Рождественский стол" 4-5 классыПодготовительная работа: Учащиеся 5 класс готовят сообщения на тему "Рождество"; 4 класс делится на группы, распределяет между учениками продукты, которые необходимо принести для кутьи;Подготовка групп к практической работе: 1 группа Рождественская кутьяРабота, которую необходимо заране...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Гимназия № 2 Городской округ Краснознаменск Московской областиРАБОЧАЯ ПРОГРАММАПО ЛИТЕРАТУРЕ ДЛЯ 11 КЛАССА Литература. 11 класс: Учеб.для общеобразовательных учреждений. В 2 ч. /...»








 
2017 www.docx.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - интернет материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.